Real-und Imaginärteil einer holomorphen Funktion sind harmonisch

19.10.2019, 18:26	MaPalui	Auf diesen Beitrag antworten »
Real-und Imaginärteil einer holomorphen Funktion sind harmonisch Da bin ich wieder Ich soll zeigen: Real- und Imaginärteil einer holomorphen Funktion $\begin{eqnarray} f = u +i\cdot v \end{eqnarray}$ sind harmonisch. Mein Ansatz: Sei f harmonisch. Dann erfüllen u und v die Cauchy-Riemann-DGL. Es gilt also: $\begin{eqnarray} \frac{du}{dx} = \frac{dv}{dy} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{du}{dy} = -\frac{dv}{dx} \end{eqnarray}$ . Leite ich nun den ersten Teil nach x ab und den zweiten nach y, erhalte ich: $\begin{eqnarray} \frac{d^2u}{dx^2} = \frac{d^2v}{dydx} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -\frac{d^2u}{dy^2} = \frac{d^2v}{dxdy} \end{eqnarray}$ . Um ans Ziel zu kommen müsste ich ja nun argumentieren, dass die gemischten Ableitungen gleich sind. Das sind sie, wenn sie stetig sind. Aber genau da fehlt mir die Argumentation. Ich weiß, dass dies der Satz von Clairaut sagt, aber der kam in unseren Vorlesungen nicht dran. Das weiß ich aus einer anderen Quelle. Kann ich diese Lücke auch ohne diesen Satz schließen? LG Maren
19.10.2019, 18:39	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Real-und Imaginärteil einer holomorphen Funktion sind harmonisch Gut beobachtet Entweder setzt man voraus, dass die Ableitungen stetig sind, oder sogar differenzierbar, oder man weiß schon, dass holomorphe Funktionen beliebig oft differenzierbar sind. Andere Wege fallen mir gerade nicht ein.
19.10.2019, 18:49	MaPalui	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Also dass holomorphe Funktionen beliebig oft diffbar sind, dass wissen wir. Aber folgt daraus, dass Real-und Imaginärteil beliebig oft stetig diffbar sind? Ich weiß nur, dass es mindestens einmal so ist.
19.10.2019, 18:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn nicht, wäre eine Ableitung differenzierbar und nicht stetig, das ist nicht vorstellbar.
19.10.2019, 21:58	MaPalui	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke euch vielmals!! LG Maren
20.10.2019, 13:28	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
So unmittelbar einsichtig finde ich den Zusammenhang zwischen der Ableitung nach der komplexen Variablen z und der partiellen Ableitung nach der reellen Variablen x nicht. Es gilt aber $\begin{eqnarray} f'(z)=f_x(z)=\frac 1 i f_y(z) \end{eqnarray}$ , wie man leicht mit $\begin{eqnarray} z=x+iy \end{eqnarray}$ und der Kettenregel nachweisen kann: $\begin{eqnarray} f_y(z)=\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y}=f'(z)i \end{eqnarray}$
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