Summe Variable rausziehen

19.10.2019, 19:00

NichtMatheMann

Summe Variable rausziehen

Hallo,

Ich sitze an einer Induktionsbeweis-Aufgabe fest und brauche n wenig Hilfe.
$\begin{eqnarray*} \sum_{a = 0}^b a {b \choose a} = b \cdot 2^{b-1} \end{eqnarray*}$

Ein Freund von mir hat mir erzählt, dass man das a in der Summe als b/2 herausziehen kann. Mir fehlt da die Idee und im Netz hab ich auch nichts gefunden. Könntet Ihr mir da vielleicht n wenig zur Hand gehen?

19.10.2019, 19:42

HAL 9000

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Für $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a\binom{b}{a}=b\binom{b-1}{a-1} \end{eqnarray*}$ , überzeuge dich davon mit Hilfe der Definition der Binomialkoeffizienten.

19.10.2019, 19:50

NichtMatheMann

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Oh, ich habe es wohl nicht genau genug formuliert.

Ich meinte es in diese Richtung:

$\begin{eqnarray*} b/2 \sum_{a=0}^b {b \choose a} = n \cdot 2^{n-1} \end{eqnarray*}$

19.10.2019, 19:51

HAL 9000

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Ich wollte dich ja auch nicht in deiner falschen Idee bestärken, sondern stattdessen die richtige nennen. Aber es ist natürlich deine Entscheidung, das womöglich zu ignorieren. Augenzwinkern

19.10.2019, 19:57

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und rausgezogen wird da gar nichts, vermutlich geht es um $\begin{eqnarray*} \sum_{a = 0}^b a {b \choose a} = \sum_{a = 0}^b a {b \choose b-a} \end{eqnarray*}$ und anschließende Transformation des Summationsindex

19.10.2019, 19:59

HAL 9000

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@URL

Das ist eine zweite Idee, ja.

19.10.2019, 20:00

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@HAL: Vermutlich die gesuchte, wobei deine eleganter ist

19.10.2019, 20:03

NichtMatheMann

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Falsch ist es denke ich nicht, jedenfalls sagt Wolfram alpha was anderes:

Wolfram|Alpha ((n/2 * sum k=0 to n (n choose k)) = n * 2^{n-1})
(Darf komischerweise keinen Link senden obwohl ich Registriert bin, denke ich)

Mein Ziel hierbei ist es nicht unbedingt den Induktionsbeweis zu schaffen, sondern eher das n/2 herausziehen zu verstehen. Ich versuche dies irgendwie für mich zu beweisen.

Sprich warum gilt
$\begin{eqnarray*} \sum_{a=0}^b a = b/2 \sum_{a=0}^b 1 \end{eqnarray*}$

Diese Idee wollte ich dann in den Beweis einfließen lassen.

19.10.2019, 20:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von NichtMatheMann
$\begin{eqnarray*} \sum_{a=0}^b a = b/2 \sum_{a=0}^b 1 \end{eqnarray*}$

Diese Formel ist zwar komischerweise richtig, aber komplett untauglich für dein ursprüngliches Ansinnen:

Auf Basis welcher Eigenschaft soll denn aus der Formel dein gewünschtes $\begin{eqnarray*} \sum_{a=0}^b a\binom{b}{a} = b/2 \sum_{a=0}^b \binom{b}{a} \end{eqnarray*}$ folgen? unglücklich

Vielleicht solltest du doch mal ernsthaft entweder die Idee von URL oder die von mir in Erwägung ziehen.

19.10.2019, 21:06

NichtMatheMann

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Zitat:

Diese Formel ist zwar komischerweise richtig, aber komplett untauglich für dein ursprüngliches Ansinnen:

Ich wollte erstmal wissen, warum diese Formel gilt, da es mich interessiert hat und für mich relativ nützlich vorkommt. Also wollte ich erstmal diese Beweisen, hab es nicht hinbekommen und bin hierher gekommen. Also so ganz untauglich finde ich diese nicht. (Klar, dann benötige ich vermutlich keinen Induktionsbeweis, aber der ist nicht zwingend notwendig, da die Aufgabe nur den Beweis für alle n verlangt aber die Induktion nicht verlangt)
Hätte vermutlich im Beweis folgendes versucht oder ähnliches:

$\begin{eqnarray*} \sum_{a=0}^b a {b \choose a} =(1) \frac{b}{2} \sum_{a=0}^b {b \choose a} =(2) \frac{b}{2} \cdot 2^b = b \cdot \frac{2^b}{2} = b \cdot 2^{b-1}\\<br /> \text{(1) Würde ich dann ähnlich beweisen wie die Formel vom kleinen Gauß (Idee von oben)}\\<br /> \text{(2) Ich weiß, dass } \sum_{a=0}^b {b \choose a} = 2^b \end{eqnarray*}$

Eure Ideen schaue ich mir später gerne noch an.

19.10.2019, 22:03

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Warum die Formel $\begin{eqnarray*} \sum_{a=0}^b a = b/2 \sum_{a=0}^b 1 \end{eqnarray*}$ gilt? Es ist nur Gauß-Summenformel. $\begin{eqnarray*} \sum_{a=0}^b a = \frac{b(b+1)}{2}=b/2 \sum_{a=0}^b 1 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \sum_{a=0}^b a {b \choose a} = \frac{b}{2} \sum_{a=0}^b {b \choose a} \end{eqnarray*}$ kann man tatsächlich ähnlich beweisen wie die Gauß-Summenformel.

20.10.2019, 08:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von NichtMatheMann
Ich wollte erstmal wissen, warum diese Formel gilt, da es mich interessiert hat und für mich relativ nützlich vorkommt. Also wollte ich erstmal diese Beweisen, hab es nicht hinbekommen und bin hierher gekommen. Also so ganz untauglich finde ich diese nicht.

Sorry, ich wusste nicht, dass du einen derart epischen Vorspann im Sinn hast, bis du dich irgendwann mal der eigentlichen Aufgabe widmen willst. In den meisten Threads hier widmet man sich unmittelbar der Aufgabe statt eine Vorlesung voranstellen zu wollen. Augenzwinkern

20.10.2019, 13:32

NichtMatheMann

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Jo, sorry wenn ich euch etwas genervt habe ^^. Ich habe derweil mehr oder weniger viel Zeit, da der Rest mehr oder weniger schon fertig ist.
Ja aber bei der Formelumstellung damit ich dafür Punkte bekomme sitze ich immer noch. Hierfür würde ich denke ich keine bekommen (jedenfalls ohne Erklärung), da wir keinen Beweis für haben.

$\begin{eqnarray*} \sum_{a=0}^b a = \frac{b(b+1)}{2}=b/2 \sum_{a=0}^b 1 \end{eqnarray*}$

20.10.2019, 13:39

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Die erste Gleichheit kannst du mit vollständiger Induktion oder eben mit dem Trick des kleinen Gauß zeigen. Die zweite ist b+1-mal die Eins addieren, ich wüsste nicht, was man da beweisen soll.

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