Zeigen, dass die Ordnung der rationalen Zahlen wohldefiniert ist

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Jule12345 Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass die Ordnung der rationalen Zahlen wohldefiniert ist
Meine Frage:
Hallo,

ich löse schon seit Tagen Übungsaufgaben von MatheI, hänge nun seit Stunden an der Aufgabe im Anhang (Teilaufgabe a) und fange langsam an zu verzweifeln.

Könnt ihr mir vielleicht Tipps geben?

Danke!

Meine Ideen:
Ich glaube, ich muss erstmal sicher gehen, dass ich verstehe, was dort steht:

Man hat also die Brüche x und y, die der Ordnung der rationalen Zahlen unterliegen, und betrachtet deren Relation zueinander - dabei ist x kleiner als y. Diese Relation entspricht der Relation Zähler(x)*Nenner(y) und Zähler(y)*Nenner(x), d.h. das erste Produkt ist kleiner als das zweite. Die Zähler der Brüche sind Elemente der Ganzen Zahlen, die Nenner sind Elemente der Natürlichen Zahlen, natürlich ohne 0. Weil man auf der rechten Seite der Äquivalenz die einzelnen Zähler/Nenner anschaut, gilt da die Ordnung der Ganzen Zahlen (weil die ja auch negativ sein können, deswegen nicht die Natürlichen); auf der rechten Seite hat man rationale Zahlen, also gilt dort die Ordnung der Rationalen Zahlen.

Ich soll nun nachweisen, dass die Ordnung der Rationalen Zahlen nicht von der gekürzten / erweiterten Form der Brüche abhängt, d.h. ... dass die Brüche nach ihrem Wert, also Quotienten, geordnet werden?

Bisher habe ich nur rausgefunden, dass man einen Bruch (a/b) als (a'/b') schreiben kann, wenn man eine gekürzte Variante des Bruchs meint.

Ich habe als allerersten Ansatz Folgendes hingeschrieben:



Aber meine erste Zeile ist ja selbsterklärend und mein Gefühl sagt mir, dass die letzte Zeile schon Quatsch ist.

Bitte bei Hilfestellungen beachten, dass ich nur Frühstudentin bin und ein wenig erschlagen von den ersten zwei Wochen MatheI. Also bitte kein fundiertes Grundwissen zu den o.g. Themen voraussetzen; im Skript stehen leider nur Sätze über Körper und Ordnung, mit denen ich bei dieser Aufgabe nix anzufangen weiß. Laut Google müsste ich "Ordnungsaxiome" anwenden; in meinem Skript finde ich Sätze über "Lineare Ordnung" und "Angeordnete Körper", aber irgendwie hilft mir nichts davon dabei, einen Ansatz oder überhaupt ein Gefühl für das Problem zu finden.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst verstehen, was du in Vorlesungen hörst und in Büchern liest. Dann musst du Aufgaben verstehen und bearbeiten und lösen. Verstehen kann dir niemand abnehmen, das musst du ganz allein mit deinem Verstand machen. Wenn es nicht immer sofort klappt, dann ist das normal. Bemühe dich und lass dir Zeit, in einem Jahr lachst du über solche Sachen.
 
 
Jule12345 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Du musst verstehen, was du in Vorlesungen hörst und in Büchern liest. Dann musst du Aufgaben verstehen und bearbeiten und lösen. Verstehen kann dir niemand abnehmen, das musst du ganz allein mit deinem Verstand machen. Wenn es nicht immer sofort klappt, dann ist das normal. Bemühe dich und lass dir Zeit, in einem Jahr lachst du über solche Sachen.


Danke für den Tipp, deswegen habe ich versucht, mir das mit dem Skript zu erklären, hab dadurch aber keine Idee bekommen. Das ist nur eine von 9 Aufgaben und ich habe über den ersten 5 schon 2 Tage lang geschwitzt. Am MO muss ich abgeben unglücklich ich möchte gar keine Rechnung oder gar Lösung, nicht mal einen konkreten Ansatz - über einen kleinen Denkanstoß würde ich mich freuen. Auf die Ordnungsaxiome bin ich ja schon selbst gekommen, aber an der Stelle streikt mein Gehirn.
Jule12345 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Du musst verstehen, was du in Vorlesungen hörst und in Büchern liest. Dann musst du Aufgaben verstehen und bearbeiten und lösen. Verstehen kann dir niemand abnehmen, das musst du ganz allein mit deinem Verstand machen. Wenn es nicht immer sofort klappt, dann ist das normal. Bemühe dich und lass dir Zeit, in einem Jahr lachst du über solche Sachen.


Kannst du mir sagen, ob ich das Zusammengefasste bei "Meine Ideen" richtig verstanden habe? Oder hab ich schon die Aufgabenstellung falsch verstanden?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es gab einen Fußballspieler, der bei der Vertragsverhandlung sagte "1/3? Nee, ich will mindestens 1/4!". (https://de.wikipedia.org/wiki/Horst_Szymaniak) Der Witz ist, daß er die Anordnung der rationalen Zahlen nicht verstanden hat. Die rationalen Zahlen sind ein angeordneter Körper, die Ordnung wird gegeben durch die Differenz von rationalen Zahlen.
Ebensogut kann man diese Ordnung so wie in der Aufgabe durch die Ordnung ganzer Zahlen definieren, dann muss man nur noch beweisen, dass dies wohldefiniert, d.h. unabhängig von der Bruchdarstellung ist. Tipp : Erweitere a/b<c/d mit positiven ganzzahligen oder negativen ganzzahligen e links und f rechts und zeige, daß die ganzzahlige Ordnung erhalten bleibt.
Jule12345 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Es gab einen Fußballspieler, der bei der Vertragsverhandlung sagte "1/3? Nee, ich will mindestens 1/4!". (https://de.wikipedia.org/wiki/Horst_Szymaniak) Der Witz ist, daß er die Anordnung der rationalen Zahlen nicht verstanden hat. Die rationalen Zahlen sind ein angeordneter Körper, die Ordnung wird gegeben durch die Differenz von rationalen Zahlen.
Ebensogut kann man diese Ordnung so wie in der Aufgabe durch die Ordnung ganzer Zahlen definieren, dann muss man nur noch beweisen, dass dies wohldefiniert, d.h. unabhängig von der Bruchdarstellung ist. Tipp : Erweitere a/b<c/d mit positiven ganzzahligen oder negativen ganzzahligen e links und f rechts und zeige, daß die ganzzahlige Ordnung erhalten bleibt.


Hi,

vielen Dank für die Heranführung. Vielleicht stand ich gestern nur auf dem Schlauch, aber jetzt erscheint mir das Problem zumindest etwas klarer. Ob mein Rechenweg nun aber wirklich beweist, was er beweisen soll, weiß ich nicht.



(Ich weiß leider nicht, wie man die Äquivalenzzeichen schön untereinander bekommt)

Jetzt habe ich die beiden Brüche mit einer positiven Zahl e erweitert, umgeformt und das e wieder rausgekürzt. Da ich ja aber beweisen soll, dass die Ordnung trotz Erweiterung erhalten bleibt, wird der Schritt mit dem Rauskürzen wohl falsch sein. Stattdessen könnte ich an der Stelle ja vielleicht ein Ordnungsaxiom anwenden:



Da weiß ich aber nicht, wie ich alle Faktoren unterbringen soll. Ich hatte zuerst eine Version, in der ich nur die Zähler mit dem Ordnungsaxiom verglichen habe:



...da zeige ich Prinzip ja genau das, was ich zeigen will, nämlich dass der kleinere Zähler nach dem Erweitern mit e immer noch kleiner ist, aber dabei ignoriere ich ja völlig den Nenner. Daher denke ich, ich muss erst Multiplizieren und dann das Axiom anwenden, oder? Aber ich finde keine Version des Axioms, bei dem es mehr Faktoren gibt?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich habe von erweitern gesprochen. Ein Bruch wird erweitert, indem man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert.
, also stimmt die ganzzahlige Ordnung mit der Ordnung der Brüche überein, und deshalb ist sie wohldefiniert. Zu deutsch : es ist ziemlich egal, ob man Brüche erweitert oder ganzzahlige Gleichungen mit Faktoren multipliziert, die Ordnung bleibt erhalten ("ziemlich egal", weil man Minuszeichen beim erweitern tunlichst sofort herauskürzt, anders gesagt: ).
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