Wie bestimme ich den Grad einer Nullstelle?

19.10.2019, 22:51

Bienebb

Wie bestimme ich den Grad einer Nullstelle?

Meine Frage:
Wie man Nullstellen einer Funktion ermittelt ist mir klar, aber was ist mit der Grad der Nullstelle gemeint . Meine Frage ist zu dieser gebrochenrationalen Funktion: (x^2-4)/(x+2). Bin für jede hilfreiche Antwort dankbar.

Meine Ideen:
Nullstelle ist die 2

19.10.2019, 23:59

Mathe-Novize

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RE: Wie bestimme ich den Grad einer Nullstelle?
Eine Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist dann eine mehrfache Nullstelle der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ auch eine Nullstelle der Ableitungen $\begin{eqnarray*} f^\prime \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f^{\prime\prime} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f^{\prime\prime\prime} \end{eqnarray*}$ usw. ist.
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{} f(x_0) = 0 &\Rightarrow& \text{Einfache Nullstelle}\\ f^\prime(x_0) = 0 &\Rightarrow& \text{Doppelte Nullstelle}\\ f^{\prime\prime}(x_0) = 0 &\Rightarrow& \text{Dreifache Nullstelle}\\ &\vdots& \end{array} \end{eqnarray*}$

Man nennt so eine Nullstelle dann übrigens auch z.B. Nullstelle 3. Ordnung.

20.10.2019, 00:58

Dopap

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RE: Wie bestimme ich den Grad einer Nullstelle?

Zitat:

Original von Mathe-Novize

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{} f(x_0) = 0 &\Rightarrow& \text{Einfache Nullstelle}\\ f^\prime(x_0) = 0 &\Rightarrow& \text{Doppelte Nullstelle}\\ f^{\prime\prime}(x_0) = 0 &\Rightarrow& \text{Dreifache Nullstelle}\\ &\vdots& \end{array} \end{eqnarray*}$

Diese Implikationen sind einzeln so wie sie dastehen nicht gültig. Wenn es anders gemeint ist, dann hinschreiben. Auch die Prämisse hilft da nicht weiter. Die Folgerungen im einzelnen sind

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{} f(x_0) = 0 &\Rightarrow& \text{ Nullstelle}\\ f^\prime(x_w) = 0 &\Rightarrow& \text{Stelle mit waagrechter Tangente}\\ f^{\prime\prime}(x_k) = 0 &\Rightarrow& \text{Stelle mit verschwindender Krümmung}\\ \end{array} \end{eqnarray*}$

Insgesamt ist es etwas diffizil hier alle notwendigen und hinreichenden Bedingungen zu formulieren.

Aber: wenn es wie meistens um Polynome geht wird's einfacher:

nach Vieta hat ein Polynom nur mit n einfachen reellen Nullstellen die Form

$\begin{eqnarray*} f(x):=c(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n) \end{eqnarray*}$

Wenn Faktoren mit Potenzen wie z.B. $\begin{eqnarray*} (x-x_3)^{p_3} \end{eqnarray*}$ auftreten, so hat die Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ die Vielfachheit $\begin{eqnarray*} p_3 \end{eqnarray*}$

bei gebrochen rationalen Funktionen geht das nach dem Kürzen mit dem Zähler auch.

$\begin{eqnarray*} g(x):=\frac {x^2-4}{x+2}=(x-2)^1 \quad\text{beides mal mit }\quad x\neq -2\quad \Rightarrow \end{eqnarray*}$ einfache Nullstelle bei 2

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