[Spieltheorie] Schach in Normalform

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20.10.2019, 11:59

MaPalui

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[Spieltheorie] Schach in Normalform

Hallo ihr lieben smile

Meine Aufgabe ist diese:

Zitat:

Schach kann als Spiel mit simultanen Zügen in Normalform formuliert werden. Wie sieht die Matrix aus?
Hinweis: Matrix muss nicht angegeben werden. Erklärung genügt.
(Ein Zug eines Spielers kann kein Schachzug sein. Stattdessen ist ein Zug in diesem Kontext die Wahl einer Strategie.)

Meine Ideen:
Der Hinweis hat mich etwas aus dem Konzept gebracht.
Sonst hätte ich gesagt, die Matrix ist quadratisch der Größe 6 x 6. Warum?
Es gibt 6 Schachfiguren, die jeder Spieler ziehen kann. Eine dieser Figuren zu ziehen ist die angewandte Strategie.
Die Zeilen bzw Spalten haben also die Einträge:
Bauer, Turm, Springer, Läufer, König, Dame

Bin ich da auf dem richtigen Weg?

20.10.2019, 14:11

Dopap

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Eine Strategie eines Spielers ist Funktion die jedem seiner Spielknoten eine der möglichen Kannten zuordnet.
Die Anzahl ist unübersehbar groß.

20.10.2019, 14:50

MaPalui

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Wir haben das nicht graphentheoretisch gemacht.
Wenn ich aber nun die Zeilen / Spalten aufschreibe, enthalten diese dann jede mögliche Kombination, die auf dem Spielfeld auftreten kann?

20.10.2019, 18:01

Dopap

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jeder Knoten ist eine Stellung. Jede Stellung* findet sich in ein oder mehreren Knoten wieder.

Knoten ---> Stellung ist surjektive Abbildung.

Wenn Weiss die Strategie i und Schwarz die Strategie j wählt, dann ist $\begin{eqnarray*} a_{ij}\in \{1, \tfrac 12,0\} \end{eqnarray*}$ die Auszahlung für Weis, meiner Meinung nach.

(*) keine Retrostellungen.

20.10.2019, 18:05

MaPalui

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Tut mir Leid Dopap, ich kann dir nicht folgen.
Ich sehe den Zusammenhang zur Matrix nicht in den Knoten unglücklich

20.10.2019, 18:10

Dopap

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Dann erklär mir doch mal das Spiel samt Spielregeln und die Fragestellung. verwirrt

20.10.2019, 18:32

MaPalui

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Entschuldige, aber ich habe die ganze Aufgabe geschrieben verwirrt

20.10.2019, 20:05

Dopap

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Ich denke du hast keine Ahnung vom Schach. Es gibt auch noch 8 Bauern je Spieler.
Die Randeinträge in der Matrix sind keine Züge sondern die Wahl einer Strategie.
Diese beinhaltet im Voraus die Wahl eines bestimmten Zuges in allen Stellungen die während des Spieles vorkommen können. ( siehe oben )
Ein Spiel ist ein Pfad durch den Spielbaum und endet in der Auszahlung 1 ; 1/2 oder 0.

Die Matrix in Normalform hat mindestens $\begin{eqnarray*} \boxed{10^{60}\times10^{60}} \end{eqnarray*}$ Einträge der Auszahlung. !!!
logisch, dass diese Matrix nicht angegeben werden muss. geschockt

Es ist nicht bekannt ob es eine optimale Strategie gibt. Wenn das so wäre bräuchten gute Spieler nicht mehr gegeneinander antreten, also eine Situation wie bei DAME oder TIC TAC TOE.

20.10.2019, 20:20

MaPalui

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also erstmal danke für deine Zeit und Mühe.
Ich denke, jetzt blicke ich erst etwas mehr dahinter.
Werde daher mal schauen, ob ich die Matrix zu TIC TAC TOE finde, die ist ja sicherlich etwas übersichtlicher Big Laugh

oder?

Und die $\begin{eqnarray*} 10^{60} \end{eqnarray*}$ ist die Mindestanzahl aller möglichen Stellungen auf dem Feld?
Edit: Nein, das ist zuwenig verwirrt

20.10.2019, 23:18

Dopap

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"Stellungen" gibt es $\begin{eqnarray*} 13^{64}\approx 1.96\cdot 10^{71} \end{eqnarray*}$ Stück, davon sind praktisch alle illegal.

Nach Bonsdorf/Fabel/Riihimaa soll es ca. $\begin{eqnarray*} 2\cdot10^{43} \end{eqnarray*}$ legale Stellungen geben.
Wie viele davon eine Spielvergangenheit haben ist (mir) nicht bekannt.

Für die Anzahl möglicher Partien begrenzt man in Gedanken erstmal die Züge auf 40.
Dann liegen die Zahlen zwischen 2.4xE116 (Kraitchik 1944) und 1E120

Zum Trost ist jede "Partie" nach spätestens ca. 5500 Zügen beendet. Augenzwinkern

21.10.2019, 10:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
Zum Trost ist jede "Partie" nach spätestens ca. 5500 Zügen beendet.

Ich darf mal kurz dran erinnern, dass wir dieses Thema vor längerer Zeit schon mal hatten: Schach = unendlich?

Es sind also 5899 Züge bei maximaler Kooperation. Augenzwinkern

21.10.2019, 11:01

Dopap

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Für die Spieler $\begin{eqnarray*} S1 ; S2 \end{eqnarray*}$ mit ihren Strategien $\begin{eqnarray*} s_i^1 , s_j^2 \end{eqnarray*}$ ist das Spiel in Normalform

$\begin{eqnarray*} \qquad \begin {array}{|c|ccc}\hline & s_1^2 & s_2^2&s_3^2& \cdots \\\hline s_1^1 & a_{11} &a_{12}&a_{13}&\cdots\\ s_2^1 & a_{21} & a_{22} &\cdots\\ \vdots &\vdots &\vdots\end{array} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} a_{ij} \in \{(1,-1),\,(0,0),\,(-1,1)\} \end{eqnarray*}$ als Auszahlungsvektor.

Über die Anzahl der Strategien* ist mir nichts genaueres bekannt.

(*) hat nichts mit üblicher Schachstrategie zu tun, die man in der Spieltheorie Verhaltensstrategie nennt.

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