Teilbarkeit in Z_{m}

20.10.2019, 12:38

Marisers

Teilbarkeit in Z_{m}

Hallo zusammen,

ich darf mich dieses Semester erneut mit Mathe beschäftigen und versuche mal wieder trotz der Verständnisschwierigkeiten irgendwie am Ball zu bleiben. In den nächsten Wochen werdet ihr wohl öfter Fragen von mir hier sehen smile

Nun wurde in der Vorlesung neben den ganzen Zahlen Z auch Z_{m} betrachtet.
Das wurde folgendermaßen definiert:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \text{Sei X eine Menge, }R \subseteq X \to X \text{ eine Äquivalenzrelation. Zu }x \in X \text{ betrachte man }R_{x} = \{ x'\in X : (x, x')\in R\}. R_{x} \text{ heißt Äquivalenzklasse von } x \in X. \text{Dann gilt:} \end{eqnarray*}$
1. $\begin{eqnarray*} R_{x} \neq \emptyset \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} R_{x_{1}} \cap R_{x_{2}} \neq \emptyset \Rightarrow R_{x_{1}} = R_{x_{2}} \text{ für alle } x_{1}, x_{2} \in X \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{x \in X} R_{x} = X \end{eqnarray*}$

und im weiteren Verlauf dann irgendwann:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} X = \mathbb{Z}, m \in \mathbb{Z}. \text{ Dann ist } R_{m} \text{ die Relation, die gegeben ist durch:} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R_{m} = \{(z_{1}, z_{2}) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} : m|(z_{2} - z_{1})\} \subseteq \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R_{m} \text{ ist eine Äquivalenzrelation. Der Quotient }\frac{\mathbb{Z}}{R_{m}} \text{ wird mit } Z_{m} \text{ bezeichnet.} \end{eqnarray*}$

Im folgenden werden dann noch kurz die Rechenoperation auf diesem Z_{m} betrachtet.

Wenn ich das richtig verstehe, werden die Restklassen zu dem m gebildet, also
$\begin{eqnarray*} Z_{5} = \{0, 1, 2, 3, 4\} \end{eqnarray*}$ .
und zum Beispiel
$\begin{eqnarray*} 5 * 3 = 3 \text{ in } Z_{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5 * 4 = 0 \text{ in } Z_{4} \end{eqnarray*}$

Jetzt stellt sich mir als erstes die Frage, ob dieses $\begin{eqnarray*} Z_{m} \end{eqnarray*}$ auch irgendeinen "offiziellen" Namen hat, nachdem man mal googeln könnte. Oft findet man dann ja doch anschauliche Videos und Beispiele etc. Hier hab ich schon vergeblich versucht irgendwas zu finden verwirrt

Außerdem habe ich Probleme bei einem Beweis, der im Laufe der Vorlesung geführt wurde.
In dem Teil des Beweises ist Folgendes zu beweisen:
$\begin{eqnarray*} m^{e \cdot d} = m \text{ für alle } m \in Z_{n} \end{eqnarray*}$
wobei n = p*q ist, sowie p & q zwei unterschiedliche Primzahlen sind. e und d sind auch ganze Zahlen. Der Beweis wird dann angefangen mit:
$\begin{eqnarray*} &&\text{Sei }m \in \mathbb{Z}, ggT(m, p)\neq 1 &&\Rightarrow p | m &&\Rightarrow p | m^{e \cdot d} &&\Rightarrow p | m^{e \cdot d} - m &&\Rightarrow m^{e \cdot d} = m \text{ in } Z_{p} \end{eqnarray*}$

Die ersten Schritte kann ich nachvollziehen. Da der ggT > 1 ist und p prim ist, muss p also m teilen.
Und p teilt dann auch ein Vielfaches von m. Ich verstehe allerdings nicht, wie man von der vorletzten in die letzte Zeile kommt.

Wenn $\begin{eqnarray*} p | m^{e \cdot d} - m \end{eqnarray*}$ gilt, dann hätte ich erwartet, dass $\begin{eqnarray*} m^{e \cdot d} = 0 \text{ in } Z_{p} \end{eqnarray*}$ gilt, weil ja $\begin{eqnarray*} m^{e \cdot d} \equiv 0 \pmod{p} \text{ in } \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist.

Ich befürchte ich hab dieses ganze Konstrukt mit dem $\begin{eqnarray*} Z_{m} \end{eqnarray*}$ noch nicht so ganz verstanden. Kann da vllt. jemand Licht ins Dunkle bringen?

Danke und viele Grüße

20.10.2019, 12:59

Elvis

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Alles ganz einfach, und du hast nichts falsch verstanden. $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_m=\mathbb Z/m\mathbb Z \end{eqnarray*}$ heißt der Restklassenring von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ modulo $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ . Er enthält die $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ Restklassen modulo $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ , das sind die Teilmengen ganzer Zahlen, die bei Division durch $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ denselben Rest lassen. Nicht nur $\begin{eqnarray*} m^{ed}\equiv 0 \end{eqnarray*}$ , sondern auch $\begin{eqnarray*} m\equiv 0 \end{eqnarray*}$ modulo $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , also sind beide ganze Zahlen in derselben Restklasse, sie sind als modulo $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gleich.

20.10.2019, 13:29

Marisers

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Danke dir für die schnelle Antwort, das macht schon mehr Sinn.

Der Ausdruck:
$\begin{eqnarray*} m^{e \cdot d} = m \text{ in } Z_{p} \end{eqnarray*}$
liest sich also nicht als "Die Restklasse von m^{e*d} in Z_{p} ist m", sondern als "Die Restklasse von m^{e*d} ist gleich der Restklasse von m (in Z_{p}) ?
Das würde dann evtl. meine ursprüngliche Verwirrung erklären.

Könnte man dann nicht auch direkt schreiben:
$\begin{eqnarray*} p | m \wedge p | m^{e \cdot d} \Rightarrow m^{e \cdot d} = m \text{ in } Z_{p} \end{eqnarray*}$

Wofür der Zwischenschritt über die Substraktion von m? verwirrt

20.10.2019, 14:11

Elvis

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Das kann man genau so machen. Die Restklassen von a und b modulo m sind genau dann gleich, wenn der Modul die Differenz teilt. Jacke wie Hose, gehupft wie gesprungen. smile

Hier hat man das logische UND, dort das arithmetische MINUS.

20.10.2019, 14:39

Marisers

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Perfekt, danke dir.

So langsam kommt die Erkenntnis smile

20.10.2019, 17:55

Elvis

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In meiner ersten Antwort bin ich etwas über das Ziel hinausgeschossen.
Zunächst ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_m=\frac {\mathbb Z}{R_m} \end{eqnarray*}$ die Quotientenmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ nach der Äquivalenzrelation $\begin{eqnarray*} R_m \end{eqnarray*}$ , genau so, wie es in deinem Text steht.
Dann ist die Äquivalenzrelation auch eine Kongruenzrelation, d.h. man kann Restklasssen addieren und multiplizeren, indem man Elemente aus Restklassen addiert und multipliziert und von den Summen und Produkten die Restklassen bildet. Dadurch wird die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_m \end{eqnarray*}$ zum Restklassenring $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z_m=\mathbb Z/m\mathbb Z,+,\cdot) \end{eqnarray*}$ .

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