Teilbarkeit in Z_{m}

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Marisers Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeit in Z_{m}
Hallo zusammen,

ich darf mich dieses Semester erneut mit Mathe beschäftigen und versuche mal wieder trotz der Verständnisschwierigkeiten irgendwie am Ball zu bleiben. In den nächsten Wochen werdet ihr wohl öfter Fragen von mir hier sehen smile

Nun wurde in der Vorlesung neben den ganzen Zahlen Z auch Z_{m} betrachtet.
Das wurde folgendermaßen definiert:

Zitat:


1.
2.
3.

und im weiteren Verlauf dann irgendwann:
Zitat:




Im folgenden werden dann noch kurz die Rechenoperation auf diesem Z_{m} betrachtet.


Wenn ich das richtig verstehe, werden die Restklassen zu dem m gebildet, also
.
und zum Beispiel



Jetzt stellt sich mir als erstes die Frage, ob dieses auch irgendeinen "offiziellen" Namen hat, nachdem man mal googeln könnte. Oft findet man dann ja doch anschauliche Videos und Beispiele etc. Hier hab ich schon vergeblich versucht irgendwas zu finden verwirrt


Außerdem habe ich Probleme bei einem Beweis, der im Laufe der Vorlesung geführt wurde.
In dem Teil des Beweises ist Folgendes zu beweisen:

wobei n = p*q ist, sowie p & q zwei unterschiedliche Primzahlen sind. e und d sind auch ganze Zahlen. Der Beweis wird dann angefangen mit:


Die ersten Schritte kann ich nachvollziehen. Da der ggT > 1 ist und p prim ist, muss p also m teilen.
Und p teilt dann auch ein Vielfaches von m. Ich verstehe allerdings nicht, wie man von der vorletzten in die letzte Zeile kommt.

Wenn gilt, dann hätte ich erwartet, dass gilt, weil ja ist.

Ich befürchte ich hab dieses ganze Konstrukt mit dem noch nicht so ganz verstanden. Kann da vllt. jemand Licht ins Dunkle bringen?

Danke und viele Grüße
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Alles ganz einfach, und du hast nichts falsch verstanden. heißt der Restklassenring von modulo . Er enthält die Restklassen modulo , das sind die Teilmengen ganzer Zahlen, die bei Division durch denselben Rest lassen. Nicht nur , sondern auch modulo , also sind beide ganze Zahlen in derselben Restklasse, sie sind als modulo gleich.
 
 
Marisers Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir für die schnelle Antwort, das macht schon mehr Sinn.


Der Ausdruck:

liest sich also nicht als "Die Restklasse von m^{e*d} in Z_{p} ist m", sondern als "Die Restklasse von m^{e*d} ist gleich der Restklasse von m (in Z_{p}) ?
Das würde dann evtl. meine ursprüngliche Verwirrung erklären.

Könnte man dann nicht auch direkt schreiben:


Wofür der Zwischenschritt über die Substraktion von m? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann man genau so machen. Die Restklassen von a und b modulo m sind genau dann gleich, wenn der Modul die Differenz teilt. Jacke wie Hose, gehupft wie gesprungen. smile Hier hat man das logische UND, dort das arithmetische MINUS.
Marisers Auf diesen Beitrag antworten »

Perfekt, danke dir.

So langsam kommt die Erkenntnis smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In meiner ersten Antwort bin ich etwas über das Ziel hinausgeschossen.
Zunächst ist die Quotientenmenge von nach der Äquivalenzrelation , genau so, wie es in deinem Text steht.
Dann ist die Äquivalenzrelation auch eine Kongruenzrelation, d.h. man kann Restklasssen addieren und multiplizeren, indem man Elemente aus Restklassen addiert und multipliziert und von den Summen und Produkten die Restklassen bildet. Dadurch wird die Menge zum Restklassenring .
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