Induktionsbeweis mit Anfangswert n+1

20.10.2019, 16:40

jaaaa

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Induktionsbeweis mit Anfangswert n+1

Meine Frage:
Hallo ,

könnte jemand mir helfen?
Ich habe eine Aufgabe, lautet: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n+1}^{2n} 2k = 3 n^{2} + n \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiss nicht sogar, wie ich IA darstellen soll, die werden nicht gleich am Ende irgendwie.
Wäre sehr dankbar für jede Hilfe.
Dankeschön

Liebe Grüße,
Jany

20.10.2019, 16:50

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RE: Induktionsbeweis mit Anfangswert n+1
Deine Summe beginnt mit dem Wert n+1, aber das sagt überhaupt nichts darüber aus, welches n denn der richtige Induktionsanfang ist. Probiert man n=1, dann ist die Aussage wahr, das wäre also ein passender Induktionsanfang.
Allerdings bietet sich hier die Umformung $\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+1}^{2n}2k=\sum_{k=1}^{2n}2k-\sum_{k=1}^{n}2k \end{eqnarray*}$ an.

20.10.2019, 17:07

jaaaa

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RE: Induktionsbeweis mit Anfangswert n+1
Ähm IA wäre dann n= 1

2(2n) = 3n^2 + n
2(2*1) = 3*1^2 + 1
4=4 ?

Wäre so richtig? ich bin mir nicht sicher

20.10.2019, 17:13

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RE: Induktionsbeweis mit Anfangswert n+1
Dein Aufschrieb ist mir unklar. Woher kommt denn 2(2n)?
Für n=1 ist doch $\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+1}^{2n}2k=\sum_{k=2}^{2}2k=4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3n^2+1=3+1=4 \end{eqnarray*}$ . Fertig.

20.10.2019, 17:40

jaaaa

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RE: Induktionsbeweis mit Anfangswert n+1
Ah stimmt, dankeschön und sorry für unverständliche Schreibweise
dann wäre dann IS:

$\begin{eqnarray*} = 2\left(n+1\right) + \sum\limits_{k=n+1}^{2n} 2k = 2 \left(n+1\right) + 3 n^{2} + n = 2n + 2 + 3 n^{2} + n = 3 n^{2} +3n + 2 = 3 \left(n+1\right) ^{2} +n + 1 \end{eqnarray*}$

smile

smile

Dankeschön für Deine Hilfe

20.10.2019, 17:44

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RE: Induktionsbeweis mit Anfangswert n+1
Das ist von vorne bis hinten falsch. $\begin{eqnarray*} {\color\red 2\left(n+1\right)} \sum\limits_{k=n+1}^{2n} 2k = 2 \left(n+1\right) + 3 n^{2} + n = 2n + 2 + 3 n^{2} + n = 3 n^{2} +3n + 2 {\color\red = 3 \left(n+1\right) ^{2} +n + 1} \end{eqnarray*}$

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20.10.2019, 17:48

jaaaa

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RE: Induktionsbeweis mit Anfangswert n+1
Ja, sorry, ich habe vorne +nach 2(n+1) "+" vergessen
Dankeschön

20.10.2019, 17:56

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RE: Induktionsbeweis mit Anfangswert n+1
Du verstehst nicht..das ist alles komplett falsch. Beim Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} n\to n+1 \end{eqnarray*}$ wird aus $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n+1}^{2n} \end{eqnarray*}$ die Summe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n+2}^{2(n+1)} \end{eqnarray*}$
Und was du am Ende zusammengerechnet hast, war wohl vom Wunschdenken inspiriert.

20.10.2019, 19:01

jaaaa

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RE: Induktionsbeweis mit Anfangswert n+1
äähm, ich checke irgendwie nicht ganz unglücklich

unglücklich

20.10.2019, 19:06

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RE: Induktionsbeweis mit Anfangswert n+1
Du willst per Induktion $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n+1}^{2n} 2k = 3 n^{2} + n \end{eqnarray*}$ zeigen.
Im Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} n\to n+1 \end{eqnarray*}$ ist also $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n+2}^{2(n+1)} 2k = 3 (n+1)^{2} + n +1 \end{eqnarray*}$ zu zeigen.
Das besondere ist hier, dass auch die untere Grenze der Summe von n abhängt.

20.10.2019, 20:29

jaaaa

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RE: Induktionsbeweis mit Anfangswert n+1
oh, dankeschön, verstehe einbisschen

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n+2}^{2\left(n+1\right) } 2k = 3 \left(n+1\right) ^{2 } +n + 1 => <br /> 2 (2n+ 2) + 3 n^{2} +n = 4n + 4 + 3 n^{2} + n = 3 n^{2} + 5n + 4 \end{eqnarray*}$

mache ich irgendwas falsch? sollte eigentlich dann $\begin{eqnarray*} 3 n^{2} + 7n + 4 \end{eqnarray*}$ rauskommen, da $\begin{eqnarray*} 3 \left(n+1\right) ^{2} + n +1 = 3 n^{2} + 7n + 4 \end{eqnarray*}$ ist.

20.10.2019, 20:33

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RE: Induktionsbeweis mit Anfangswert n+1
Du ignorierst hartnäckig, dass sich auch die untere Grenze der Summe geändert hat unglücklich

unglücklich

20.10.2019, 21:55

jaaaa

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RE: Induktionsbeweis mit Anfangswert n+1
ich komme irgendwie ganz durcheinander sorryyy unglücklich

unglücklich

21.10.2019, 09:56

klarsoweit

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RE: Induktionsbeweis mit Anfangswert n+1
Wenn du die Induktionsvoraussetzung anwenden willst, mußt du die Summe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n+2}^{2(n+1)} 2k \end{eqnarray*}$ so umbauen, daß da dann $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n+1}^{2n} 2k \end{eqnarray*}$ steht.

Wenn du nun von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n+2}^{2(n+1)} 2k \end{eqnarray*}$ die beiden letzten Summanden rausziehst, hast du: $\begin{eqnarray*} 2 \cdot (2n+1) + 2 \cdot (2n+2) + \sum\limits_{k=n+2}^{2n} 2k \end{eqnarray*}$

Der Summenausdruck $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n+2}^{2n} 2k \end{eqnarray*}$ ist aber leider noch nicht identisch mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n+1}^{2n} 2k \end{eqnarray*}$ . Die letztere Summe hat ja noch zusätzlich den Summanden für k=n+1. Also mußt du $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n+2}^{2n} 2k \end{eqnarray*}$ noch weiter umformen. smile

smile

21.10.2019, 13:40

jaaaa

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RE: Induktionsbeweis mit Anfangswert n+1
Danke für deine Antwort ,

dann wäre dann,

$\begin{eqnarray*} 2(2n+1) + 2(2n+2) +\sum\limits_{k=n+1}^{2n} 2k - \sum\limits_{k=1}^{n} 2k \end{eqnarray*}$ , richtig? verwirrt

verwirrt

21.10.2019, 13:46

HAL 9000

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Nein. Was klarsoweit meint ist, dass du den einen Summand für $\begin{eqnarray*} k=n+1 \end{eqnarray*}$ subtrahieren musst, damit das mit der Gleichheit hinhaut, d.h., als Gleichungskette geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+2}^{2(n+1)} 2k = 2(2n+1) + 2(2n+2) + \sum_{k=n+2}^{2n} 2k = 2(2n+1) + 2(2n+2) {\color{red}- 2(n+1)} + \sum_{k={\color{red}n+1}}^{2n} 2k \end{eqnarray*}$

21.10.2019, 14:30

klarsoweit

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Ich hatte gehofft, daß jaaaa diesen gedanklichen Schritt schaffen würde. Nun ja, wieder um eine Hoffnung ärmer. traurig

traurig

Vielleicht ist wenigstens klar geworden, wie das Rausziehen der beiden letzten Summanden funktioniert.

21.10.2019, 16:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von klarsoweit
Ich hatte gehofft, daß jaaaa diesen gedanklichen Schritt schaffen würde.

Entschuldige das "Verraten" meinerseits, aber nachdem jaaaa dort ganz $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n 2k \end{eqnarray*}$ subtrahiert hatte, wollte ich die Qualen nicht noch weiter ausdehnen. Es bleibt vermutlich auch so noch genug didaktische Arbeit für dich. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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