Bestimmung der expliziten und rekursiven Formel einer Folge

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Lenny0306 Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmung der expliziten und rekursiven Formel einer Folge
Meine Frage:
Hey, ich versuche den Lösungsweg folgender Aufgabe zu verstehen:

[attach]49866[/attach]



Meine Ideen:
Beispielsweise Aufgabe e)

Die explizite Formel ist mir sofort erkennbar, da man Nenner und Zähler direkt/einzeln aus den Index n bestimmen kann.


Um die rekursive Formel bestimmen zu können, habe ich alle Brüche auf einen Nenner gebracht und herausgefunden:
Um von auf muss man addieren.
Von auf muss man
von auf muss man
von auf muss man addieren.
Ich habe in den Lösungen nachgeschaut und dort wurde genau dieser Nenner 2, 6, 12, und 20 immer mit n bestimmt.


Ich verstehe nicht wie, man auf kommt und das erst recht nicht bei den schwierigeren Aufgaben. Und wieso ist es überhaupt erlaubt, n in der rekursiven Formel zu benutzen, da könnte man doch gleich die explizite Formel in dem Beispiel nehmen. Wobei ich auch nicht wüsste, wie man auf die explizite Formel kommt bei g) und h).

Hier die Lösung zu den Aufgaben:
[attach]49867[/attach]

Kann mir jemand den Lösungsweg beispielsweise für g) oder h) erklären?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabenstellung unterstellt, es gäbe nur eine explizite und nur eine rekursive Darstellung. Jetzt mag man sich bei explizit noch darüber streiten, ab wann man äquivalente Terme nicht mehr unterscheidet, aber bei der rekursiven Form ist die Reichhaltigkeit der Möglichkeiten beinahe unbeschränkt. So könnte man die Folge in e) zum Beispiel auch mit



rekursiv beschreiben. Oder was hältst du von



Der Phantasie sind da keine Grenzen gesetzt. (Die erste Darstellung habe ich aus der expliziten Darstellung bekommen. Zunächst habe ich in dieser Gleichung durch substituiert, dann beide Gleichungen nach aufgelöst, gleichgesetzt und nach aufgelöst.)
 
 
applepie Auf diesen Beitrag antworten »

Bei e) würde ich z.B. so vorgehen:



Dasselbe kannst du für machen, sprich für den gleichen Nenner sorgen, etwas umformen und dann in erkennen.
applepie Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Vorgehensweise wird auch bei den anderen Aufgaben zum Ziel führen.

Mögliche explizite Vorschriften für e) und f) zu finden, ist glaube ich ziemlich einfach.

Auch wenn es bei g) und h) vielleicht auf den ersten Blick nicht so leicht erscheint, das Stichwort ist "erweitern" :

Bei g) liest sich und wahrscheinlich schöner zum Finden der expliziten Vorschrift.

Bei h) kannst du dir ja selbst mal überlegen, an welcher Stelle hier das Erweitern ins Spiel kommen könnte.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Musterlösung in e), g) will letztlich die Folge in eine Reihe umwandeln, denn



heißt, immer wieder angewandt, letztlich nichts anderes als

mit

Ich finde es etwas merkwürdig, dies als "die" rekursive Lösung zu bezeichnen (siehe meinen vorigen Beitrag). Um zu bestimmen, kannst du so vorgehen, wie applepie es vorgeschlagen hat. Du kannst natürlich auch einfach berechnen. Das ist ja gerade .
Lenny0306 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für die Hilfe von euch.

Genau, wenn man bei g) als schreibt und bei h) als schreibt, dann sind die expliziten Formeln mit etwas knobeln gut herauszufinden.

Und die Rekursive dann mit Hilfe von .
Supi.


Ich habe noch nicht ganz verstanden was hier unten passiert:

Zitat:
Original von applepie
Bei e) würde ich z.B. so vorgehen:



Dasselbe kannst du für machen, sprich für den gleichen Nenner sorgen, etwas umformen und dann in erkennen.


Aus Neugierde: Eine rekursive Formel ohne n aufzustellen z. B. bei Aufgabe g) ist nicht so einfach machbar, oder?
applepie Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich habe noch nicht ganz verstanden was hier unten passiert:


An welcher Stelle genau ist etwas unklar ?

Zitat:
Aus Neugierde: Eine rekursive Formel ohne n aufzustellen z. B. bei Aufgabe g) ist nicht so einfach machbar, oder?


Ich verstehe nicht was du damit meinst verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lenny0306
Aus Neugierde: Eine rekursive Formel ohne n aufzustellen z. B. bei Aufgabe g) ist nicht so einfach machbar, oder?


Meinst du so etwas, einen direkten Rückgriff auf den Vorgänger, "ohne n"?



Wie man vorgehen kann, habe ich in meinem ersten Beitrag geschildert.
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