Vollständige Induktion

20.10.2019, 19:50

Vulcon

Vollständige Induktion

Meine Frage:
Moin,

Ich brauche derzeit Hilfe, bei meiner Aufgabe:
Seien n ? N,n ? 1, und x1,x2,...,xn ? R positive reelle Zahlen mit x1 ·x2···xn =1. Dann gilt x1+x2+... + xn ? n.
? Siehe Bild zum beseren Verständnis!

Meine Ideen:
Ich würde nun wie folgt anfangen:

Induktionsanfang: ?

Voraussetzung: n ? N,n ? 1 und x1,x2,...,xn ? R mit x1 ·x2···xn =1
Behauptung: x1+x2+... + xn ? n
Beweis: ?
???????????????????????????????????????????????
1. Induktionsanfang:
Setze ich nur für n etwas ein?
Also: n=1?x1 ? 1

oder muss ich auch für x etwas einsetzen?
Also: n=1&x=1?1 ? 1

2. Wie fange ich meinen Beweis an?

Danke im vorraus,
Lg, Joshua

20.10.2019, 20:09

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RE: Vollständige Induktion
Warum Induktion? Das ist eine einfache Anwendung von AMGM.

20.10.2019, 20:10

Vulcon

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RE: Vollständige Induktion
Da dies so in der Aufgabe steht:
Beweisen Sie die folgenden Aussagen mittels vollst¨andiger Induktion

21.10.2019, 01:04

tbbt

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Du sollst eine Aussage für alle natürlichen Zahlen n>0 zeigen, also läuft die Induktion auch nach n.

Für den Induktionsanfang betrachte demnach wie immer n=1.

Für den Induktionsschritt, also den Schluss von n auf n+1, kannst du z.B. die gegebene "Faktorgleichung" mittels Division nach $\begin{eqnarray*} x_{n+1} \end{eqnarray*}$ umstellen und in den Summenterm einsetzen.
Dann alles auf einen Nenner bringen und schon steht die zu zeigende Ungleichung für n+1 im Prinzip so gut wie da.

21.10.2019, 09:22

klarsoweit

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Mit Sicherheit stehe ich auf dem Schlauch, aber leider kann ich nicht erkennen, wie hier der Tipp von tbbt helfen kann. Wie dem auch sei, ich würde es beim Induktionsschritt mit diesem Ansatz machen:

n --> n+1:
(*) Sei nun $\begin{eqnarray*} x_1 \cdot \ldots \cdot x_n \cdot x_{n+1} = 1 \end{eqnarray*}$
Es gibt ein i mit x_i >= 1 . Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei dies x_1.
Dann gibt es ein epsilon >= 0 mit $\begin{eqnarray*} x_1 = (1 + \epsilon)^n \end{eqnarray*}$

x_1 in (*) eingesetzt ergibt:
$\begin{eqnarray*} (1 + \epsilon)^n \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_{n+1} = 1 \end{eqnarray*}$
<==>
$\begin{eqnarray*} ((1 + \epsilon) \cdot x_2) \cdot \ldots \cdot ((1 + \epsilon) \cdot x_{n+1}) = 1 \end{eqnarray*}$

Das sind nun n Faktoren und man kann daher die IV verwenden. Also folgt:

$\begin{eqnarray*} (1 + \epsilon) \cdot x_2 + \ldots + (1 + \epsilon) \cdot x_{n+1} \geq n \end{eqnarray*}$

Jetzt noch $\begin{eqnarray*} (1+\epsilon)^{n+1} \end{eqnarray*}$ addieren und dann auf der rechten Seite die Bernoullische Ungleichung anwenden, dann ist man schon auf der Zielgeraden. smile

21.10.2019, 09:43

HAL 9000

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Ich würde im Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} n\to n+1 \end{eqnarray*}$ so rangehen:

Von den $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ Zahlen sind mit Sicherheit mindestens eine Zahl $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$ und von den anderen mindestens eine $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ : Denn andernfalls wären alle $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ Zahlen <1 oder alle diese Zahlen >1, was der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} x_1\cdot \ldots \cdot x_{n+1}=1 \end{eqnarray*}$ widerspricht. Wir ordnen nun o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} x_n\leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{n+1}\geq 1 \end{eqnarray*}$ zu und wenden die Induktionsvoraussetzung auf die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Zahlen $\begin{eqnarray*} x_1,\ldots,x_{n-1},x_n\cdot x_{n+1} \end{eqnarray*}$ an, es ergibt sich

$\begin{eqnarray*} x_1+\ldots+x_{n-1} + x_nx_{n+1} \geq n \end{eqnarray*}$ .

Unser Wissen zu $\begin{eqnarray*} x_n,x_{n+1} \end{eqnarray*}$ ergibt außerdem $\begin{eqnarray*} (1-x_n)(x_{n+1}-1)\geq 0 \end{eqnarray*}$ , umgestellt $\begin{eqnarray*} x_n+x_{n+1}\geq x_nx_{n+1}+1 \end{eqnarray*}$ ...

21.10.2019, 10:03

tbbt

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Zitat:

Mit Sicherheit stehe ich auf dem Schlauch, aber leider kann ich nicht erkennen, wie hier der Tipp von tbbt helfen kann

Vielleicht stehe ich ja auch auf dem Schlauch. smile

Ich schildere mal wie es gemeint war.

$\begin{eqnarray*} x_1 \cdot \ldots \cdot x_n \cdot x_{n+1} = 1 \end{eqnarray*}$

Formt man diese Gleichung nach $\begin{eqnarray*} x_{n+1} \end{eqnarray*}$ um und setzt in $\begin{eqnarray*} x_1+x_2+\ldots+ x_n+x_{n+1} \end{eqnarray*}$ ein, dann könnte man ja alles auf den Nenner $\begin{eqnarray*} x_1 \cdot \ldots \cdot x_n \end{eqnarray*}$ bringen, etwas zusammenfassen und mit Hilfe der Induktionsannahme nach unten abschätzen, so dass die untere Schranke wie gewünscht n+1 ist.

Ist das falsch ?

21.10.2019, 10:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von tbbt
etwas zusammenfassen und mit Hilfe der Induktionsannahme nach unten abschätzen

Der Teufel steckt wohl im Detail: Auf welche $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Zahlen konkret willst du denn die Induktionsannahme hier anwenden? verwirrt

klarsoweit und ich haben diese $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Zahlen bei unseren Wegen jeweils benannt - bei dir ist es zumindest mir noch nicht klar.

21.10.2019, 12:00

tbbt

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Wenn man den Vorschlag mit dem Einsetzen ausführt und zusammenfasst, dann erhält man ja :

$\begin{eqnarray*} \frac{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n \cdot(x_1+x_2+...+x_n)+1}{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n} \end{eqnarray*}$

Auf diese n x-Werte, die dort jeweils vorkommen, würde ich dann die Induktionsannahme loslassen.

Habe ich mich da vertan ? verwirrt

21.10.2019, 12:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von tbbt
Auf diese n x-Werte, die dort jeweils vorkommen, würde ich dann die Induktionsannahme loslassen.

Auf $\begin{eqnarray*} x_1,\ldots,x_n \end{eqnarray*}$ ist die Induktionsannahme nicht anwendbar, da i.a. $\begin{eqnarray*} x_1\cdot \ldots\cdot x_n=1 \end{eqnarray*}$ ja gar nicht erfüllt ist. unglücklich

21.10.2019, 17:18

tbbt

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Hmm, ok ich dachte gerade das war ja die Forderung an die n x-Werte, dass sie multipliziert 1 ergeben müssen.
Wenn dem nicht so ist, dann habe ich es falsch verstanden, sorry.
Aber echt ein extremer Zufall, dass das nach unten abgeschätzt ja genau n+1 wäre - so kann man sich irren geschockt

21.10.2019, 17:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von tbbt
Hmm, ok ich dachte gerade das war ja die Forderung an die n x-Werte, dass sie multipliziert 1 ergeben müssen.

Im Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} n\to n+1 \end{eqnarray*}$ betrachten wir $\begin{eqnarray*} x_1,\ldots,x_{n+1} \end{eqnarray*}$ , die den Voraussetzungen genügen, d.h., wir dürfen da von $\begin{eqnarray*} x_1\cdot \ldots\cdot x_n\cdot x_{n+1}=1 \end{eqnarray*}$ ausgehen, was du ja auch genutzt hast!!! Dass du aber denkst, dass dann zusätzlich auch noch $\begin{eqnarray*} x_1\cdot \ldots\cdot x_n=1 \end{eqnarray*}$ gilt, kann man bestenfalls unüberlegt oder aber reichlich naiv nennen...

22.10.2019, 08:25

klarsoweit

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Zitat:

Original von tbbt
Aber echt ein extremer Zufall, dass das nach unten abgeschätzt ja genau n+1 wäre - so kann man sich irren geschockt

Nun ja, so ein Zufall ist das auch wieder nicht. Wenn sowohl $\begin{eqnarray*} x_1\cdot \ldots\cdot x_n\cdot x_{n+1}=1 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} x_1\cdot \ldots\cdot x_n=1 \end{eqnarray*}$ gilt, dann ist $\begin{eqnarray*} x_{n+1} = 1 \end{eqnarray*}$ und aus $\begin{eqnarray*} x_1 + ... + x_n \geq n \end{eqnarray*}$ folgt auch $\begin{eqnarray*} x_1 + ... + x_n + x_{n+1} \geq n+1 \end{eqnarray*}$ . smile

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