Rechnen mit Zufallsvariablen

20.10.2019, 20:10

lea3

Rechnen mit Zufallsvariablen

Meine Frage:
Hallo zusammen. Die folgende Aufgabe (siehe Bild):

Meine Ideen:
Zu a) $\begin{eqnarray*} P(0<X\leq 6)=0,58 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(2<Y\leq 8)=0,68 \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} f_X(x)=\frac{1}{3\sqrt{2\pi} }exp\left(-\frac{(x-5)^2}{18} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_Y(y)=\frac{1}{3\sqrt{2\pi} }exp\left(-\frac{(y-5)^2}{18} \right) \end{eqnarray*}$

Da X und Y unab. sind ist die gemeinsame Dichte gleich:

$\begin{eqnarray*} f_{X+Y}(x,y)=f_X(x)*f_Y(y)=\frac{1}{18 \pi }exp\left(-\frac{(x-5)^2+(y-5)^2}{18} \right) \end{eqnarray*}$ .

Die Verteilungsfunktion von X und Y sind:

$\begin{eqnarray*} F_{X}(x)=\int_{-\infty }^{x} \! f_X(t) \, dt \end{eqnarray*}$

bzw. $\begin{eqnarray*} F_{Y}(y)=\int_{-\infty }^{y} \! f_Y(s) \, ds \end{eqnarray*}$ wegen der unab. gilt nun

$\begin{eqnarray*} F_{X,Y}(x,y)=\int_{-\infty }^{y} \!\int_{-\infty }^{x} \! f_Y(s)f_X(t) \, dtds \end{eqnarray*}$

c) Die Summe von zwei unabhängigen ZV ist wieder Normalverteilt

X+Y ist NV mit Mittelwert =10 und Varianz =18 die Dichte ist:

$\begin{eqnarray*} f_X(x)=\frac{1}{4,24\sqrt{2\pi} }exp\left(-\frac{(x-10)^2}{36} \right) \end{eqnarray*}$

d) X+2Y ist Normalverteilt..
X-2Y ist die Differenz von unabhängigen Normalverteilten Zv wieder normalverteilt ?

e) Kovarianz von X: Var(X)=9
Kovarianz von 2X-Y ist auch 9

f) p(X,X)=1
p(2X-Y)=1

stimmt das soweit so ?

21.10.2019, 18:56

Lea3

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RE: Rechnen mit Zufallsvariablen
Keiner ne Idee ?

21.10.2019, 19:32

HAL 9000

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a)-c) sind soweit Ok, danach wirst du leider inkonsequent bzw. auch falsch:

d) Schrittweise vorgehen:

Aus $\begin{eqnarray*} Y\sim\mathcal{N}\left(\mu,\sigma^2\right) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} aY\sim\mathcal{N}\left(a\mu,a^2\sigma^2\right) \end{eqnarray*}$ , und damit dann $\begin{eqnarray*} X+2Y\sim\mathcal{N}\left(\mu+2\mu,\sigma^2+4\sigma^2\right) = \mathcal{N}\left(3\mu,5\sigma^2\right) = \mathcal{N}\left(15,45\right) \end{eqnarray*}$ . Ähnlich dann $\begin{eqnarray*} X-2Y\sim\mathcal{N}\left(-\mu,5\sigma^2\right) = \mathcal{N}\left(-5,45\right) \end{eqnarray*}$ .

e) Es ist nicht nach $\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(2X-Y) \end{eqnarray*}$ gefragt, sondern nach $\begin{eqnarray*} \operatorname{Cov}(X,2X-Y) \end{eqnarray*}$ . Und für die kann man die (Bi-)Linearität der Kovarianz nutzen:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Cov}(X,2X-Y) = \operatorname{Cov}(X,2X) + \operatorname{Cov}(X,-Y) = 2\operatorname{Cov}(X,X) - \operatorname{Cov}(X,Y) = 2\operatorname{Var}(X) - 0 = 18 \end{eqnarray*}$

f) Folgeaufgabe von e), die kriegst du jetzt vielleicht auch allein hin.

21.10.2019, 20:01

lea34

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Hallo vielen dank für die Hilfreiche Antwort.

X-2Y ist doch N(-5,-36) verteilt oder nicht ? verwirrt

für f) habe ich 1,15 ich hoffe das stimmt

21.10.2019, 20:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von lea34
X-2Y ist doch N(-5,-36) verteilt oder nicht ? verwirrt

Varianz MINUS 36? Das meinst du doch nicht ernst, oder etwa doch? geschockt

Zitat:

Original von lea34
für f) habe ich 1,15 ich hoffe das stimmt

Hab ich nicht nachgeprüft. Ich erwarte, dass du ein paar Rechenschritte anführst.

EDIT: Achso, das ist ja der Korrelationskoeffizient. Na dann ist 1,15 ganz sicher falsch - warum?

21.10.2019, 20:25

lea34

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Wird dann bei minus die Varianz nicht minus genommen sondern einfach addiert ? Warum ist das so, ist bisschen komisch verwirrt

e)

2X ist N(10,36) Verteilt und damit ist 2X-Y gleich N(10-5,36+9)=N(5,45)

Somit ist $\begin{eqnarray*} p(X,2X-Y)=\frac{18}{\sqrt{45*9} } =0,9 \end{eqnarray*}$ sollte stimmen oder ?

21.10.2019, 20:30

HAL 9000

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Da ist nichts komisch, sondern alles folgerichtig:

$\begin{eqnarray*} X-2Y = X + (-2)\cdot Y \sim \mathcal{N}\left( 5 + (-2)\cdot 5, 9 + (-2)^2\cdot 9\right) = \mathcal{N}\left( -5, 45\right) \end{eqnarray*}$

Der Korrelationswert ist $\begin{eqnarray*} \frac{2}{\sqrt{5}} \approx 0.894 \end{eqnarray*}$ . Wert 0.9 ist etwas arg grob gerundet.

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