Indirekter Beweis n ist keine Quadratzahl

21.10.2019, 08:59

ninased

Indirekter Beweis n ist keine Quadratzahl

Meine Frage:
Für n Element der natürlichen Zahlen haben wir die Aussage wenn die letzte Ziffer von n eine 2,3,7,8 ist, dann ist n keine Quadratzahl.

Meine Ideen:
Wie geht man überhaupt vor, wenn man das mit einem indirekten Beweis zeigen soll?

21.10.2019, 09:14

Elvis

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Annahme: Es gibt eine Quadratzahl $\begin{eqnarray*} n=k^2 \end{eqnarray*}$ mit letzter Ziffer $\begin{eqnarray*} 2,3,7,8 \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} k=10p+q,q\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} k^2=100p^2+20pq+1, 100p^2+20pq+4,... \end{eqnarray*}$ (die 3 Pünktchen darsfst du berechnen). Widerspruch zur Annahme. qed

Wenn man die Annahme nicht hinschreibt, ist der Beweis direkt. Wenn man die Annahme hinschreibt ist der Beweis länger und indirekt. Welchen Vorteil ein längerer Beweis hat, weiß ich auch nicht. Jedenfalls kann man so aus jedem Beweis einen indirekten Beweis machen.

21.10.2019, 09:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Elvis
Dann ist $\begin{eqnarray*} k=10p+q,q\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\} \end{eqnarray*}$

Wie immer bei Quadraten kann man sich ein wenig Arbeit sparen durch die alternative Betrachtung der vorzeichenbehafteten Reste $\begin{eqnarray*} q\in\{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,5\} \end{eqnarray*}$ , was ja auch den gesamten Bereich abdeckt.

21.10.2019, 15:55

Leopold

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Eine Überlegung, die auf den Algorithmus des schriftlichen Multiplizierens Bezug nimmt. Für Leute, die das in der Grundschule noch gelernt haben.

Wenn man eine Zahl mit sich selbst schriftlich multipliziert, dann zeigt das bekannte Verfahren, daß sich die Einerziffer des Produktwerts allein aus den Einerziffern der Faktoren bestimmen läßt:

$\begin{align*} \ldots 0 \cdot \ldots 0 = \ldots 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \ldots 1 \cdot \ldots 1 = \ldots 1 \end{align*}$

$\begin{align*} \ldots 2 \cdot \ldots 2 = \ldots 4 \end{align*}$

$\begin{align*} \ldots 3 \cdot \ldots 3 = \ldots 9 \end{align*}$

$\begin{align*} \ldots 4 \cdot \ldots 4 = \ldots (1)6 \end{align*}$

$\begin{align*} \ldots 5 \cdot \ldots 5 = \ldots (2)5 \end{align*}$

$\begin{align*} \ldots 6 \cdot \ldots 6 = \ldots (3)6 \end{align*}$

$\begin{align*} \ldots 7 \cdot \ldots 7 = \ldots (4)9 \end{align*}$

$\begin{align*} \ldots 8 \cdot \ldots 8 = \ldots (6)4 \end{align*}$

$\begin{align*} \ldots 9 \cdot \ldots 9 = \ldots (8)1 \end{align*}$

Die Ziffern in der Klammer sind Überträge, die in die Berechnung der vorhergehenden Stellen eingehen.

Offenbar kann eine Quadratzahl nicht auf 2,3,7,8 enden.

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