Skalarprodukt

21.10.2019, 18:03	mathefan007	Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt Hallo, zum Thema Skalarprodukt habe ich eine Frage: Im R^n findet man manchmal als Definition für das Skalarprodukt die Summe aus der Komponentenweise Addition, manchmal die Definition über Winkel. Irgendwie ist mir nicht ganz klar, welche nun die "allgemeine" Definition ist und ob das eine aus dem anderen folgt. Zudem habe ich gelesen, dass über das Skalarprodukt erst der Betrag eines Vektors definiert werden kann. Stehe etwas auf der Leitung... Vielleicht kann jemand helfen VG
21.10.2019, 18:11	MaPalui	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt nicht das Skalarprodukt. Das kommt immer drauf an, auf welcher Struktur du das ganze betrachtest. Wenn du amZusammenhang von skalarprodukt, Längen und Winkeln interessiert bist, empfehle ich die eine Einführung in euklidische Vektorräume. Habe leider gerade keine zur Hand, aber schaue nochmal. Im übrigen wurde mir erst neulich zugetragen,dass die berühmte Formel E=mc^2 erst dazu führte, dass man ein skalarprodukt definieren konnte, mit dem man die Beobachtungen vernünftig beschreiben konnte (was sich allerdings meiner Kenntnis weit entzieht).
21.10.2019, 18:16	SM!LE	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Skalarprodukt mit dem Cosinus des eingeschlossenen Winkels ist über den Cosinussatz recht einfach herleitbar. $\begin{eqnarray} c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos(\alpha) \end{eqnarray}$ Schreib dir einfach den Cosinussatz für die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{c} \end{eqnarray}$ auf wobei $\begin{eqnarray} \vec{c} \end{eqnarray}$ die Differenz von $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ ist. Also: $\begin{eqnarray} \|\vec{a}-\vec{b}\|^2=\|\vec{a}\|^2+\|\vec{b}\|^2-2\cdot\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|\cdot cos(\alpha) \end{eqnarray}$ Falls dich das interessiert einfach weiter umformen und du kommst am Ende auf die Darstellung mit dem Cosinus des eingeschlossenen Winkels.
21.10.2019, 18:24	mathefan007	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vielen Dank! Ja, ich weiß, dass es nicht "das" Skalarprodukt gibt. Über den Kosinussatz habe mir das auch anschaulich hergeleitet. Aber hier fließt im Prinzip ja bereits wieder eine Multiplikation ein und zudem der Betrag. Irgendwie fließt immer die Definition in die andere ein, was mich stört...

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