Wertebereich wählen damit injektiv, surjektiv,...

21.10.2019, 19:04

Kathreena

Wertebereich wählen damit injektiv, surjektiv,...

Sei:
$\begin{eqnarray*} f_2[-1, 1] \rightarrow (0, \beta), \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_2(x):=\sqrt{\frac{x^2}{2} } \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} \beta \in \mathbb R, \beta \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ . Geben Sie folgende Mengen an:

a.) $\begin{eqnarray*} \left\{ \beta \in [\frac{1}{\sqrt{2} }, \infty) | f_2[-1 , 1] \rightarrow [0, \beta]\right\} \end{eqnarray*}$ ist weder injetkiv noch surjektiv.

b.) $\begin{eqnarray*} \left\{ \beta \in [\frac{1}{\sqrt{2} }, \infty) | f_2[-1 , 1] \rightarrow [0, \beta]\right\} \end{eqnarray*}$ ist bijektiv.

Meine Idee:
a.)
Denke man soll das $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ nun so wählen, damit weder injektiv noch surjektiv ist.
Das is noch recht einfach, da es die Betragsfunktion ist.
$\begin{eqnarray*} f_2(x):=\sqrt{\frac{x^2}{2} } = \frac{|x|}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_2[-1 , 1] \rightarrow [0, \infty] \end{eqnarray*}$
Injektiv ist es sicher nicht, weil f(-1)=f(1) und surjektiv ist es auch nicht weil kein x existiert für z.B. f(x) = 1000.

b.)Hier komm ich nich weiter. Denn ich kann den Definitionsbereich für die x-Werte nicht ändern, dadurch ist die Funktion doch nie injektiv ? . Außerdem ist immer $\begin{eqnarray*} \beta \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ .
So schaff ich nur, nicht injektiv aber surjektiv.

22.10.2019, 08:19

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wertebereich wählen damit injektiv, surjektiv,...

Zitat:

Original von Kathreena
Geben Sie folgende Mengen an:

a.) $\begin{eqnarray*} \left\{ \beta \in [\frac{1}{\sqrt{2} }, \infty) | f_2[-1 , 1] \rightarrow [0, \beta]\right\} \end{eqnarray*}$ ist weder injetkiv noch surjektiv.

b.) $\begin{eqnarray*} \left\{ \beta \in [\frac{1}{\sqrt{2} }, \infty) | f_2[-1 , 1] \rightarrow [0, \beta]\right\} \end{eqnarray*}$ ist bijektiv.

Hm. Ist das identisch mit dem kompletten originalen Aufgabentext? Irgendwie verstehe ich noch nicht, was die Aufgabe ist.

22.10.2019, 12:31

Kathreena

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist leider die gesamte Angabe Augenzwinkern

22.10.2019, 13:39

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wertebereich wählen damit injektiv, surjektiv,...
OK, jetzt ist mir schon einiges klarer. 100% identisch ist dein Text mit dem Text der Aufgabe offensichtlich nicht. Beispielsweise steht bei dir "ist weder injektiv noch surjektiv" außerhalb der Mengenklammer, was für das Verständnis nicht förderlich war.

Zitat:

Original von Kathreena
$\begin{eqnarray*} f_2[-1 , 1] \rightarrow [0, \infty] \end{eqnarray*}$
Injektiv ist es sicher nicht, weil f(-1)=f(1) und surjektiv ist es auch nicht weil kein x existiert für z.B. f(x) = 1000.

Das steht in der Aufgabe nicht. Dort steht: $\begin{eqnarray*} f_2: [-1, 1] \rightarrow [0, \beta] \end{eqnarray*}$
Das heißt: die Abbildung f_2 bildet das Intervall [-1, 1] auf das Intervall $\begin{eqnarray*} [0, \beta] \end{eqnarray*}$ ab.
Die Nicht-Injektivität hast du schon begründet. Bei der Surjektivität mußt du darauf achten, auf welche Menge abgebildet wird. Bei deinem Beispiel könnte es ja sein, daß der Bildwert 1000 gar nicht in der Menge $\begin{eqnarray*} [0, \beta] \end{eqnarray*}$ liegt. Du mußt jetzt überlegen: für welche Werte von beta liegt Surjektivität vor bzw. auch nicht.

Zitat:

Original von Kathreena
b.)Hier komm ich nich weiter. Denn ich kann den Definitionsbereich für die x-Werte nicht ändern, dadurch ist die Funktion doch nie injektiv ? . Außerdem ist immer $\begin{eqnarray*} \beta \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ .
So schaff ich nur, nicht injektiv aber surjektiv.

In der Aufgabe (und das hattest du nicht gepostet) steht ja auch der dezente Hinweis, daß die Mengen leer sein können. Augenzwinkern

22.10.2019, 13:42

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Mengenklammer sitzt aber vor dem Text und injektive oder gar bijektive Mengen gibt es nicht.

Zur eigentlichen Aufgabe: Du hast keinen Parameter gefunden, zu dem eine bijektive Funktion vorliegt. Was bedeutet das für die zu bestimmende Menge? Wieviele Elemente enthält sie?

EDIT: Hab klarsoweits Antwort nicht gesehen und bin damit wieder raus.

22.10.2019, 16:35

Kathreena

Auf diesen Beitrag antworten »

Aso ok, ich soll die Menge der Zahlen angeben, die $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ annehmen kann.

Dann ist das für c.) $\begin{eqnarray*} \beta \in ( \frac{1}{\sqrt{2} }, \infty ) \end{eqnarray*}$

so kann nicht auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ abgebildet werden --> nicht surjektiv.

und d.) ist $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ dann die Leere Menge . Weils keine Möglichkeit gibt, hier bijektivität zu erzeugen.

23.10.2019, 08:11

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kathreena
so kann nicht auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ abgebildet werden --> nicht surjektiv.

Du bist in deinen Formulierungen ziemlich ungenau. Gemeint ist wohl, daß für $\begin{eqnarray*} \beta > \frac{1}{\sqrt 2} \end{eqnarray*}$ kein Urbild in [-1, 1] existiert.

Zitat:

Original von Kathreena
und d.) ist $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ dann die Leere Menge . Weils keine Möglichkeit gibt, hier bijektivität zu erzeugen.

Auch hier eine ungenaue Formulierung. beta ist ein Element von R und keine Menge. Gemeint ist, daß die Menge der beta, die die geforderte Bedingung erfüllen, leer ist.

23.10.2019, 13:44

Kathreena

Auf diesen Beitrag antworten »

danke

Neue Frage »

Antworten »

Wertebereich wählen damit injektiv, surjektiv,...

Verwandte Themen