Extremum nur numerisch?

21.10.2019, 19:53

Dopap

Extremum nur numerisch?

Eine "Betonröhre" mit Innenradius r=2 und Außenradius R=4 und einer Höhe von H=12 liegt symmetrisch zum Ursprung
und symmetrisch zur X-Achse. Diese erzeugt auf dieser Achse eine Feldstärke E in Richtung Ursprung
wenn man ein invers quadratisches anziehendes Feld annimmt.

Für die normierte Feldstärke gilt nMn

$\begin{eqnarray*} E(a)= \int_\limits{x=-\tfrac H2}^{x=\tfrac H2} \quad \int_\limits {y=r}^{y=R} \frac {2\pi\,y\,(x-a)}{((a-x)^2+y^2)^{3/2}} ~\dd y \dd x \end{eqnarray*}$ (statt y geht auch z )

Ich möchte die Stellen $\begin{eqnarray*} a_m \end{eqnarray*}$ mit extremaler Feldstärke bestimmen.

numerisch geht das sicherlich : $\begin{eqnarray*} \quad a_m\approx~ ? \end{eqnarray*}$

Geht das auch exakt evtl. inklusive den Formvariablen r, R, H ?

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edit: einfaches Nachdenken zeigt: die Extrema liegen bei $\begin{eqnarray*} |a_m|=\tfrac H2 \end{eqnarray*}$ also am Röhrenende!
Grobes numerisches Rechnen bestätigt dies auch. Bleibt nur noch die formale Bestätigung übrig.

22.10.2019, 16:56

Dopap

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bin jetzt im konkreten Fall bei

$\begin{eqnarray*} E(a)=\sqrt{a^2-8a+20}-\sqrt{a^2-8a+32}-\sqrt{a^2+8a+20}+\sqrt{a^2+8a+32} \end{eqnarray*}$

gelandet.

gut, das Extremum ist nicht a_m=6 aber der gute Wille ist erkennbar. Augenzwinkern

Mein TR ist abgestürzt und die Daten sind weg.

Alles nochmals von vorne und dann die Nullstelle der Ableitung(!) zu finden,
wobei dann nur der konkrete Fall abgehandelt wäre, nee Danke.

23.10.2019, 12:46

Dopap

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Mathe ist eben kein Ponyhof, meistens ist grauer Alltag mit reichlich Arbeit.

nun, mit Feldstärkebetrag und 2Pi ergibt sich schlussendlich:

$\begin{eqnarray*} E(a)=2\pi \left(-\sqrt{a^2-12a+40}+\sqrt{a^2-12a+52}+\sqrt{a^2+12a+40}-\sqrt{a^2+12a+52}\right) \end{eqnarray*}$

Das Extrema sitzt jetzt korrekt bei a=6 [ hatte H=8 verwendet !]
Als grüne Zugabe noch die Feldstärke wenn die Gesamtmasse als schwarzes Loch im Ursprung lauert smile

25.10.2019, 19:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
Das Extrema sitzt jetzt korrekt bei a=6

Das ist aber nur als ungefähre Verortung zu verstehen, oder? Auf drei Nachkommastellen ergibt sich $\begin{eqnarray*} a\approx 6.148 \end{eqnarray*}$ .

26.10.2019, 00:29

Dopap

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Auf HAL 9000 ist eben Verlass Freude

Ich könnte ja jetzt sagen, dass das mit $\begin{eqnarray*} a\approx 6 \end{eqnarray*}$ so gemeint war um damit das Gesicht zu wahren.
Das ist aber nicht meine Vorstellung von Mathe/Physik.

Nein, mein "einfaches Denken" mit $\begin{eqnarray*} a=6 \end{eqnarray*}$ war falsch und voreilig unglücklich

Aber der Fehler hat sich leider prima versteckt:
Die Röhre in Meter gleicht mehr einem 12 m hohen und 8 m dicken Fuß einer sehr großen Windkraftanlage. 15cm machen da nicht viel aus.

In Worten etwa so: Wenn man sich etwas von 6 entfernt sind die Lochscheibchen = Schnitte des Hohlzylinder
zwar ein wenig weiter entfernt, aber durch den etwas kleineren "Blickwinkel" etwas stärker in X-Richtung wirksam.
Das kulminiert dann bei $\begin{eqnarray*} a\approx 6.148 \end{eqnarray*}$

einfach erstaunlich ! Man lernt eben nie aus.

Eine mehrfache und zeitlich langatmige numerische Auswertung des Doppelintegrals konnte $\begin{eqnarray*} a_m\approx 6.148 \end{eqnarray*}$ bestätigen.

26.10.2019, 10:39

Dopap

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um den Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} E(6) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E(6.15) \end{eqnarray*}$ zu verdeutlichen:

26.10.2019, 11:45

Huggy

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RE: Extremum nur numerisch?
Gelöscht.

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