Messbarkeit zeigen

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sisko2 Auf diesen Beitrag antworten »
Messbarkeit zeigen
Meine Frage:
Hi. Ich habe die folgende Aufgabe (siehe Bild).


Meine Ideen:
Zur a) Ein Argument: Wenn {} drinnen ist muss auch Omega drinnen sein.

F= ist eine Sigma algebra.

b) Wie soll ich bei der b) vorgehen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

(b) Es reicht zu zeigen, dass für alle Mengen aus einem Erzeugendensystem der Borelsigmaalgebra ist. Das können z.B. die Intervalle für alle reellen sein.

Tatsächlich sind Indikatorfunktionen genau dann messbar, wenn gilt. Das beantwortet dann auch (c).
sisko3 Auf diesen Beitrag antworten »

"Tatsächlich sind Indikatorfunktionen 1A genau dann messbar, wenn A∈ gilt. Das beantwortet dann auch (c)."

Das haben wir noch nicht gelernt bzw bewiesen.

Wie gehe ich nun vor verwirrt

Es ist zu zeigen das gilt.

Beweis:

Zunächst einmal ist



Also ist dies für 1 sonst immer null.

Wenn nun f(2)=1 ist so ist

was offensichtlich in F ist. Ist diese Vorgehensweise so richtig ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht nicht um eine Umkehrfunktion (die hier zudem gar nicht existiert), sondern mit ist die Urbild-Abbildung gemeint!!!

Und für ist da bezogen auf das von mir vorgeschlagene Erzeugendensystem

.

und sind immer in der Sigma-Algebra vorhanden, bleibt also nur noch die Forderung zu erfüllen, was äquivalent zu ist.


Das gilt natürlich auch für dein , so dass dann -messbar ist, hingegen ist nicht -messbar.
sisko3 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann das nicht ganz nachvollziehen wie du auf die Urbild-Abbildung kommst.
Die Indikator Funktion kann doch nur 2 Werte annehmen 0 oder 1: Deswegen müssen wir doch nur die Urbilder dieser Werte uns schauen verwirrt

Das Urbild von der 1 wäre dann A und das Urbild von 0 wäre alles andere also A Komplementär verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sisko3
Das Urbild von der 1 wäre dann A und das Urbild von 0 wäre alles andere also A Komplementär

Im Sinne sowie : Ja.

Ich wollte ja auch nur aufzeigen, was allgemein bei Borelmessbarkeit zu tun ist: I.a. genügt es nämlich nicht, Urbilder nur von Einermengen zu betrachten.

Und außerdem darauf hinweisen, dass es statt heißt.

Zitat:
Original von sisko3
Deswegen müssen wir doch nur die Urbilder dieser Werte uns schauen verwirrt

Dito: Man betrachtet nicht Urbilder von Werten, sondern von Mengen.
 
 
sisko3 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso okay ich verstehe. Das heißt also ist auch erlaubt. Ist der folgende Beweis richtig:


Z.z




und die sind offensichtlich in F.

Passt das so ?
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