Eindeutigkeit bei Kugelkoordinaten

21.10.2019, 20:51	T1T0R3	Auf diesen Beitrag antworten »
Eindeutigkeit bei Kugelkoordinaten Meine Frage: Hallo allerseits! Ich sitze jetzt mittlerweile schon ein Weilchen an einem Problem, dessen Lösung trivial scheint. Sie will mir aber nicht einfallen: Es geht um die Umrechnung in Kugelkoordinaten. Auf einer Sphäre sei der Punkt P und sein Schatten P' auf der x-y-Ebene. Der Winkel Phi liegt zwischen r (also die Verbindungsstrecke des Ursprungs und P)und s (die Verbindungsstrecke des Ursprungs und P'). Der Winkel Lambda lautet P'0x. Mit r, Phi und Lambda sind also 3 Koordinaten gegeben. Nun sollen Formeln gefunden werden, um vom kartesischen KOS in Kugelkoordinaten umzurechnen und umgekerht. Die Formeln dafür habe ich gefunden. Sie lauten x= rcos(Lambda)cos(Phi) y=rsin(Lambda)cos(Phi) z= rsin(Phi) Diese kann man dann Umstellen und erhält Phi=arcsin(z/r) und Lambda=arccos(x/(rcos(Phi)))=arcsin(y/(rcos(Phi))) Nun steht hier(in dem Buch), damit Lambda eindeutig ist, müssen beide Gleichungen herangezogen werden. Meine Frage: Warum das? Meine Ideen:* Arccos(x) liegt ja zwischen 0 und Pi Arcsin(x) liegt zwischen -Pi/2 und Pi/2. Die Schnittmenge dieser Intervalle liegt bei [0, Pi/2] Anschaulich kann ich die ergebnisse damit auf einen Quadranten des Einheitskreises einschränken. Dort sind die Ergebnisse für arcsin(x) bzw. arccos(x) stets eindeutig. Das Problem ist nur, dass ich ja die gesamte Kugeloberfläche in Kugelkoordinaten beschreiben will... (Das gleiche Problem hatte/habe ich übrigends auch bei Polarkoordinaten)
22.10.2019, 09:32	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion $\begin{eqnarray} \phi=\arcsin\left ( \tfrac{z}{r}\right ) \end{eqnarray}$ ist nicht eindeutig. Hat man z.B. bei einer Kugel mit dem Radius r=1 die Koordinate z=0,5, so bekommt man für den Winkel $\begin{eqnarray} \phi=\arcsin \left (\tfrac{z}{r} \right )=\arcsin (0,5) \end{eqnarray}$ die zwei Ergebnsisse $\begin{eqnarray} \phi=30° \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi=150° \end{eqnarray}$ .
22.10.2019, 13:32	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@Ehos $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ist hier nicht das Problem - du hast vielleicht übersehen, dass T1T0R3 hier mit "geografischen" Kugelkoordianten arbeitet, d.h. $\begin{eqnarray} -90^{\circ} = -\frac{\pi}{2} \leq \phi\leq \frac{\pi}{2} = 90^{\circ} \end{eqnarray}$ , und da ist der $\begin{eqnarray} \arcsin \end{eqnarray}$ für die geografische Breite durchaus richtig und eindeutig. Es geht um die geografische Länge $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ , die stammt aus einem $\begin{eqnarray} 2\pi = 360^{\circ} \end{eqnarray}$ großem Intervall. Und da hat man dasselbe Problem wie bei der Polarkoordinatentransformation: Egal, ob man nun $\begin{eqnarray} \arcsin, \arccos, \arctan \end{eqnarray}$ betrachtet - alle drei Funktionen haben nur einen Wertebereich der Länge $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ und sind damit nicht ohne weiteres in der Lage, direkt einen Winkel aus einem gesamten $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ -großen Intervall zu generieren. Das "direkt" bezieht sich darauf, dass es auf Umwegen dann doch möglich ist (Ausnahmemengen vom Maß 0 mal ausgeklammert).
23.10.2019, 08:45	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Hal 9000 Danke.
23.10.2019, 23:54	T1T0R3	Auf diesen Beitrag antworten »
@HAL 9000 genau das ist mein Problem. Ich habe es jetzt aber mit Hilfe von ein paar Beispielen rausbekommen. Wenn man sich x/s=cos Lambda und y/s= sin Lambda ansieht und dafür mal passende Beispiele einsetzt also zB bei beiden sqrt(2)/2, dann erhält man immer jeweils 2 Werte und einer überschneidet sich. Das ist dann der Winkel Funktioniert von -180° bis 180°. Das mit den Polarkoordinaten habe ich auch gelöst.

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