Implizite Funktion ableiten

23.10.2019, 14:16

blasiat

Implizite Funktion ableiten

Meine Frage:
Sei folgende Gleichung gegeben:
$\begin{eqnarray*} y^{3}+x^{2}-2xy = 0 \end{eqnarray*}$

Ich soll folgendes zeigen:
1.) Die Gleich lässt sich in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} (1,1) \end{eqnarray*}$ eindeutig durch eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auflösen.

2.) $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist in $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ zweimal stetig differenzierbar und ich soll $\begin{eqnarray*} f'(1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f''(1) \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Meine Ideen:
Zu 1.) Reicht es zu zeigen das
$\begin{eqnarray*} f(1,1) = 1^{3}+1^{2}-2 \cdot 1 \cdot 1 = 0 \end{eqnarray*}$ ?

zu 2.) Ich meine das
$\begin{eqnarray*} f'(x) =- \frac{\frac{\partial }{\partial x} y^{3}+x^{2}-2xy}{\frac{\partial }{\partial y} y^{3}+x^{2}-2xy} = - \frac{2 (x - y)}{-2 x + 3 y^2} \end{eqnarray*}$ das hängt ja noch irgendwie von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ab. Ich weiß irgendwie nicht so genau was ich machen soll...

Danke für eure Hilfe!

24.10.2019, 10:43

Huggy

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RE: Implizite Funktion ableiten

Zitat:

Original von blasiat
Zu 1.) Reicht es zu zeigen das
$\begin{eqnarray*} f(1,1) = 1^{3}+1^{2}-2 \cdot 1 \cdot 1 = 0 \end{eqnarray*}$ ?

Nein.
Du musst den Satz über implizite Funktionen anwenden. Der nennt eine Bedingung, wann eine Gleichung

$\begin{eqnarray*} F[x,y]=0 \end{eqnarray*}$

in einer Umgebung eines Punktes $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ eine eindeutige und stetig differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} y(x) \end{eqnarray*}$ definiert.

Zitat:

zu 2.) Ich meine das
$\begin{eqnarray*} f'(x) =- \frac{\frac{\partial }{\partial x} y^{3}+x^{2}-2xy}{\frac{\partial }{\partial y} y^{3}+x^{2}-2xy} = - \frac{2 (x - y)}{-2 x + 3 y^2} \end{eqnarray*}$ das hängt ja noch irgendwie von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ab. Ich weiß irgendwie nicht so genau was ich machen soll...

Richtig.
Jetzt musst du nur noch $\begin{eqnarray*} (x,y)=(1,1) \end{eqnarray*}$ einsetzen.

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