Determinante einer symmetrischen Matrix

23.10.2019, 18:04

Fenrath

Determinante einer symmetrischen Matrix

Hallo zusammen,

ich habe folgendes Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} A_n=(a_{ij}) \in \mathbb{R}^{n \times n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{ij}=2 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} i=j \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{ij}=1 \end{eqnarray*}$ sonst. Bestimmen Sie die Determinante von $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ .

Nun habe ich durch ausprobieren die Vermutung aufgestellt, dass $\begin{eqnarray*} det(A_n)=n+1 \end{eqnarray*}$ ist. Soweit so gut. Allerdings bin ich mir nicht sicher, was den Beweis angeht. Ich vermute, das lässt sich durch vollständige Induktion beweisen. Ich habe also versucht die Determinante von $\begin{eqnarray*} A_{n+1} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, wobei ich davon ausgegangen bin, dass die $\begin{eqnarray*} det(A_n)=n+1 \end{eqnarray*}$ ist. Ferner habe ich vorausgesetzt, dass $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ in Spaltenstufenform ist, denn die Determinante wird dadurch ja nicht beeinflusst. Damit müsste ich nur noch die letzte Spalte modifizieren, um $\begin{eqnarray*} A_{n+1} \end{eqnarray*}$ auf Spaltenstufenform zu bringen und hoffen, dass $\begin{eqnarray*} a_{n+1,n+1}=\frac{n+2}{n+1} \end{eqnarray*}$ ist.

Allerdings bekomme ich diese Umformung nicht hin, bzw. stoße immer wieder auf Stolpersteine, die mich glauben lassen, dass es einen einfacheren Weg gibt, den ich nicht erkenne. Ist das tatsächlich so, oder bin ich auf dem richtigen Weg?

23.10.2019, 18:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von Fenrath
Ferner habe ich vorausgesetzt, dass $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ in Spaltenstufenform ist,

$\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ ist wie es ist, und zwar aus sämtlich Einsen und Zweien bestehend - wie kannst du da eine Spaltenstufenform voraussetzen? Kannst bzw. besser gesagt darfst du nicht!

Tipp: Wandle $\begin{eqnarray*} A_{n+1} \end{eqnarray*}$ determinantenerhaltend so um:

1) Subtrahiere von der letzten Zeile die vorletzte Zeile.
2) Anschließend subtrahiere von der letzten Spalte die vorletzte Spalte.

Anschließend zweimal den Entwicklungssatz anwenden ergibt eine Rekursionsgleichung für die Folge $\begin{eqnarray*} d_n:=\det(A_n) \end{eqnarray*}$ , mit deren Hilfe man dann auch die explizite Darstellung $\begin{eqnarray*} d_n=n+1 \end{eqnarray*}$ nachweisen kann.

24.10.2019, 16:20

Fenrath

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Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Zitat:

Original von HAL 9000
wie kannst du da eine Spaltenstufenform voraussetzen?

Mein Gedanke war, dass die Matrix $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ ja determinantenerhaltend in Spaltenstufenform gebracht werden kann und dies dann ja auch für $\begin{eqnarray*} A_{n+1} \end{eqnarray*}$ möglich sein sollte, den entsprechenden Teil auf die gleiche Weise in Spaltenstufenform zu bringen. Naja, den Weg habe ich mir jetzt gespart.

Dein Tipp konnte mir insofern nicht helfen, als dass wir den Entwicklungssatz nicht anwenden dürfen, da er noch nicht Teil der Vorlesung war. Allerdings hat dein Beitrag mich doch auf den richtigen Weg gebracht. Folgendermaßen bin ich vorgegangen:

Ich ziehe von jeder Spalte die vorherige Spalte einmal ab. Die erste Spalte bleibt vorerst unverändert. Dadurch erhalte ich eine Matrix $\begin{eqnarray*} B_n=(b_{ij}) \end{eqnarray*}$ , mit derselben Determinante wie $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ und folgender Form:

$\begin{eqnarray*} b_{i,1} = a_{i,1} \end{eqnarray*}$ , da die erste Spalte zunächst unverändert bleibt
$\begin{eqnarray*} b_{i,j} = 2-1 = 1 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} j \neq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} i = j \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_{i,j} = 1-2 = -1 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} j \neq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} i = j-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_{i,j} = 1-1 = 0 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} j \neq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} i \neq j \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} i \neq j-1 \end{eqnarray*}$

Beispiel für $\begin{eqnarray*} n = 5 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rrrr} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & -1 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & -1 & 0 1 & 0 & 0 & 1 & -1 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \end{eqnarray*}$

Anschließend ziehe ich die letzte Spalte einmal von der ersten Spalte ab, dann die vorletzte Spalte zweimal, usw. Dadurch erhalte ich eine Matrix $\begin{eqnarray*} C_n=(c_{ij}) \end{eqnarray*}$ . Die Determinante bleibt nach wie vor dieselbe. Für $\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} c_{i,j} = b_{i,j} \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} j \neq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_{i,1} = 0 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} i > 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c_{1,1} = 2-((-1)*(n-1)) = n+1 \end{eqnarray*}$

Beispiel für $\begin{eqnarray*} n = 5 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rrrr} 6 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \end{eqnarray*}$

Da wir nun eine untere Dreiecksmatrix haben und die Diagonale bis auf $\begin{eqnarray*} c_{1,1} \end{eqnarray*}$ nur aus Einsen besteht, ist $\begin{eqnarray*} det(A_n)=det(C_n)=(n+1)*1^{n-1}=n+1 \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe das mir da kein Fehler unterlaufen ist und das so machbar ist. Vielen Dank nochmal für deine Hilfe HAL smile

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