Teilbarkeit von Ganzen Zahlen beweisen durch Ringschluss

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donnerstudent Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeit von Ganzen Zahlen beweisen durch Ringschluss
Zu beweisen sind folgende Äquivalenzen.
a) x | y
b) x | -y
c) -x | y
d) -x | -y

Empfohlen in der Aufgabenstellung wird der Ringschluss was ja bedeutet das ich beweisen muss das

a => b => c => d => a

Die Implikation von d => a ist ja recht simpel da man theoretisch ja schreiben könnte:


Und da d hier den gleichen Wer hätte wäre die Implikation doch bewiesen oder etwa nicht?
Wäre lieb wenn mir jemand weiterhelfen kann.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man das theoretisch so schreiben könnte, wäre das der Schluß von a) auf b). Man kann das aber nicht so schreiben, weil es falsch ist.

Schluß von a) auf b):
 
 
donnerstudent Auf diesen Beitrag antworten »

Ist hier -xd äquivalent zu x&#8901traurig −d) oder wie kommt der Schritt zustande?
donnerstudent Auf diesen Beitrag antworten »

Die komische Zeichen sollten eigentlich x mal -d sein
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Welchen Schritt meinst du jetzt?

Und ja, es ist -xd = (-x) * d = (-d) * x .
donnerstudent Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte wie es dazu kommt das aus -x *d = x*(-d) wird. Aber das ist ja wahrscheinlich nur durch tauschen der beiden vorzeichen da es am endergebnis ja nichts ändert sondern nur relevant ist um auf x | -y zu kommen oder?

Wenn ich jetzt daraus -x | y machen wollen würde, müsste ich ja theoretisch nur das vorzeichen vom y wieder umdrehen wodurch ich ein positives y und ein negatives x hätte also quasi:

x | -y => -y = x*(-d) => y = -x*(-d) => -x | y

Wäre das so richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von donnerstudent
Ich meinte wie es dazu kommt das aus -x *d = x*(-d) wird.

Nun ja: -x * d = (-1) * x * d = x * (-1) * d = x * (-d)

Zitat:
Original von donnerstudent
x | -y => -y = x*(-d) => y = -x*(-d) => -x | y

Wäre das so richtig?

Nun ja, eigentlich braucht es kein Minuszeichen vor dem d:

x | -y => -y = x*d => y = -x*d => -x | y
donnerstudent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von donnerstudent
Ich meinte wie es dazu kommt das aus -x *d = x*(-d) wird.

Nun ja: -x * d = (-1) * x * d = x * (-1) * d = x * (-d)

Zitat:
Original von donnerstudent
x | -y => -y = x*(-d) => y = -x*(-d) => -x | y

Wäre das so richtig?

Nun ja, eigentlich braucht es kein Minuszeichen vor dem d:

x | -y => -y = x*d => y = -x*d => -x | y


Bekomm ich nicht aber wenn da steht y = -x*d auch ein -y raus.

Wenn ich für x = 2 und für y = 10 nehme würde da ja stehen y = -2*5

Muss d nicht immer den gleichen wert haben?

Heißt wenn ich ein positives y will und ein negatives x habe brauch ich doch auch ein negatives d oder nicht?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du musst nur alle Beweise so machen wie den von a) auf b). Unnötiges Denken und Grübeln behindert das Beweisen.
donnerstudent Auf diesen Beitrag antworten »

Heißt das die nächsten Beweise wären so richtig:

-x | y => y = -xd = x*(-d) => -y = -x*(-d) => -x | -y

und

-x | -y => -y = -xd => y = xd => x | y

Falls daran etwas falsch bitte ich um korrektur
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe ein wenig die Übersicht verloren. Mein erster Beweis sollte als Musterlösung dienen, deshalb habe ich geschrieben "Schluß von a) auf b):" und danach den formalen Beweis geführt. Du darfst Beweis gerne verbessern, aber du solltest sie besser nicht verschlechtern. Besser wäre für die einzelenen Schritte sicher, wenn man die Existenz nicht nur im Kopf hat sondern explizit aufschreibt (hiermit verbessere ich mich)
donnerstudent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Ich habe ein wenig die Übersicht verloren. Mein erster Beweis sollte als Musterlösung dienen, deshalb habe ich geschrieben "Schluß von a) auf b):" und danach den formalen Beweis geführt. Du darfst Beweis gerne verbessern, aber du solltest sie besser nicht verschlechtern.


Die beiden beweise die ich geschrieben hab sollten der Schluß von C auf D und von D auf A sein.

Der Schluß von B auf C hab ich in diesem Fall von klarsoweit übernommen

Also ist meine Frage ob die von mir vorher aufgeführten Schlüße richtig sind für von C auf D und von D auf A
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Schreibe alles schön und vollständig und übersichtlich auf, dann siehst du selbst ob alles richtig ist. Warum sollte ich das tun ? Wenn du es hier perfekt hinstellst sehe ich es mir noch einmal an, aber die Arbeit möchte ich dir überlassen. Möge dir die Arbeit ebenso viel Freude bereiten wie ein perfekter Beweis, den du selbst geführt hast.
donnerstudent Auf diesen Beitrag antworten »

Schluß von A auf B:
: x | y => y = xd => (-1)*y = x * (-1)*d => -y = x*(-d) => x | -y

Schluß von B auf C:
: x | -y => -y = xd => (-1)*(-y)=(-1)*x*d => y = -xd => -x | y

Schluß von C auf D:
: -x | y => y = -xd => y = (-1)*x*d => y =x*(-1)d => y = x * (-d) => (-1) * y = (-1)*x*(-d)
=> -y = -x * (-d) => -x | -y

Schluß von D auf A:
: -x | -y => -y = -xd => (-1)*(-y) = (-1)*(-x)*d => y = xd => x | y

Nicht verwundern ich hab jetzt jeden zwischenschritt mit *(-1) nur hier aufgeschrieben damit ich sowohl für mich als auch möglicherweise für dich bessere Übersichtlichkeit biete.

Ich hoffe das der Ringschluss Beweis so fertig ist.
Falls nicht brauch ich doch nochmal Hilfe dabei zu verstehen wo mein Fehler ist und was meine eigentliche Aufgabe dabei ist ^^
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

a)b)c)d) statt ABCD, weil es so in der Aufgabe steht. Es ist respektlos gegenüber dem Aufgabensteller, wenn man den Aufgabentext ändert.
Die Existenz gehört jeweils hinter den ersten logischen Schluß, weil die Teilbarkeit so definiert ist: und nicht so .
Ansonsten nähern wir uns langsam aber sicher der Perfektion, wobei uns stets bewußt ist, dass wir die Perfektion in diesem Leben nicht erreichen können.
donnerstudent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
a)b)c)d) statt ABCD, weil es so in der Aufgabe steht. Es ist respektlos gegenüber dem Aufgabensteller, wenn man den Aufgabentext ändert.
Die Existenz gehört jeweils hinter den ersten logischen Schluß, weil die Teilbarkeit so definiert ist: und nicht so .
Ansonsten nähern wir uns langsam aber sicher der Perfektion, wobei uns stets bewußt ist, dass wir die Perfektion in diesem Leben nicht erreichen können.


Schluß von a) auf b):
x | y =>() y = xd => (-1)*y = x * (-1)*d => -y = x*(-d) => x | -y

Schluß von b) auf c):
x | -y =>() -y = xd => (-1)*(-y)=(-1)*x*d => y = -xd => -x | y

Schluß von c) auf d):
-x | y =>() y = -xd => y = (-1)*x*d => y =x*(-1)d => y = x * (-d) => (-1) * y = (-1)*x*(-d)
=> -y = -x * (-d) => -x | -y

Schluß von d) auf a):
-x | -y =>() -y = -xd => (-1)*(-y) = (-1)*(-x)*d => y = xd => x | y


Also so?
Gibt es noch etwas definitiv notwendig ist zu verbessern?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der Zen-Buddhismus lehrt uns, dass es immer etwas zu verbessern gibt. Du könntest noch die Multiplikationszeichen vereinheitlichen (kein Zeichen, * oder Punkt) und passende Allquantoren einfügen. Du könntest den Beweis auch dahingehend verbessern, dass du den Ringschluss mit aufeinander bezogenen Teilern d und -d gestaltest. Beweise kann man immer verlängern, falls mehr Erklärungen für nötig erachtet werden. Man kann sie auch immer verkürzen, um sie prägnanter zu fassen. Kurz und gut: der Beweis überzeugt mich so wie er da steht. Im vollen Bewußtsein unserer menschlichen Unzulänglichkeit müssen wir irgendwann auch mal einen Beweis beenden und uns der nächsten Aufgabe widmen.
donnerstudent Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar dann bedanke ich mich bei allen die mir beim verstehen geholfen haben und mir Verbesserungsvorschläge gegeben haben Big Laugh
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