Reelle Vektorräume

24.10.2019, 15:05

GTE3

Reelle Vektorräume

Meine Frage:
Guten Tag,
Kann mir einer bei dieser Aufgabe helfen? Ich komme damit im Moment nicht klar.
Bedanke mich bei jedem schon mal herzlich.
Ich habe die Aufgabe als Bild hochgeladen.

Meine Ideen:
Beweis für die Abelsche Gruppe verwende ich Kommutativität, Abgeschlossenheit, Assoziativität und Inverses Element an.

24.10.2019, 15:11

klarsoweit

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RE: Reelle Vektorräume

Zitat:

Original von GTE3
Kann mir einer bei dieser Aufgabe helfen? Ich komme damit im Moment nicht klar.

Es wäre ja nett, wenn du das etwas genauer spezifizieren könntest. Wo knackt es denn im Gebälk?

Ich schiebe das mal in die Algebra.

24.10.2019, 17:06

GTE3

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RE: Reelle Vektorräume
Um ehrlich zu sein komm ich komplett nicht klar.
Für den Beweis zur Kommutativität kann ich das doch so machen
: (y1 y2) + (x1 x2)= (y1+ x1+2 ; y2+x2-2). Habe ja einfach x und y vertauscht.
Für‘s neutrale Element: (x1 x2) + (e1 e2) = (x1+e1+2 ; x2+e2-2)
Daraus folgt für das neutrale Element (-2 2).

24.10.2019, 17:53

Antezedenz

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Na ja, so wie du die Kommutativität der Vektoren auf die Kommutativität der Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ zurückgeführt hast, kannst du das auch für die Klammersetzung machen. Dann fehlt nur noch dein inverses Element und du hast die Abelsche Gruppe nachgewiesen. Dann musst du noch die Regeln der Skalarmultiplikation nachweisen.

24.10.2019, 20:49

GTE3

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Wie mache ich das jetzt bei der Skalarmultiplikation? Da stehe ich im Moment auf dem Schlauch.

25.10.2019, 11:47

GTE3

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Also ich habe mich jetzt nochmal dran gesetzt mit der Skalarmultiplikation und komme immer noch nicht weiter.
Wäre schon mega, wenn das einer macht und dann mir die Schritte erklärt.

25.10.2019, 12:08

klarsoweit

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Bei der Skalarmultiplikation sind verschiedene Eigenschaften zu zeigen. Als erstes:

$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot \left( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \right) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann fangen wir mal an:

$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot \left( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \right) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} x_1 + y_1 + 2 \\ x_2 + y_2 - 2 \end{pmatrix} = ... \end{eqnarray*}$

Jetzt darfst du weiterrechnen. Du mußt jetzt nur die Regel für die Skalarmultiplikation anwenden. So schwer ist das nicht. (Ich habe 3 Minuten gebraucht. Da frage ich mich, wieviel Zeit du darauf verwendet hast und was du dir überlegt hast.)

25.10.2019, 12:40

GTE3

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Muss ich nicht die Definition von der Addition und der Multiplikation beachten, wie es in der Aufgabe steht?

25.10.2019, 12:44

klarsoweit

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Ja, das habe ich gemacht, oder worauf bezieht sich deine Frage?

25.10.2019, 12:53

GTE3

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Also habe ich dann in der Matrix: Lambda x1 + lambda y1 + 2 lambda
Lambda x2 + Lambda y2 - 2 Lambda