Assoziative Verknüpfung zeigen

24.10.2019, 21:05

Jan Schneider

Assoziative Verknüpfung zeigen

Hallo!
Ich habe derzeit extreme Verständnisprobleme mit den Einführungskapiteln der Linearen Algebra 1, die Aufgaben sind sehr abstrakt und die Vorlesung wird praktisch durchgeprügelt ohne dass man mehr tun kann als Mitschreiben.

Ich habe bei der ersten Aufgabe meines Übungsblattes z.B. nicht den Hauch einer Ahnung wie ich das überhaupt angehen soll:

Sei $\begin{eqnarray*} G = (G,\cdot,e) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe. Auf der Potenzmenge P(G) betrachten wir die Abbildung

$\begin{eqnarray*} (A,B) \longmapsto A*B = \{ a \cdot b | (a,b) \in A \times B \} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass es sich um eine assoziative Verknüpfung handelt und ein eindeutiges (links- und rechts-)neutrales Element existiert. Zu welchen Teilmengen gibt es inverse Elemente? Ist $\begin{eqnarray*} (P(G),*) \end{eqnarray*}$ jemals eine Gruppe?

Ich kann die Hauptaussage so einigermaßen übersetzen, zumindest glaube ich das. A und B sind Teilmengen von G und daher in der Potenzmenge enthalten auf der die Abb. betrachtet wird. Diese werden auf die Verknüpfung der beiden Mengen abgebildet (?), die Verknüpfung ist dann die Multiplikation. Wie soll ich aber jetzt die Assoziativität zeigen? Ich meine es ist naheliegend, dass die Multiplikation assoziativ ist und auch dass es ein neutrales Element (1) gibt, aber wie ich das zeigen soll weiß ich nicht. verwirrt

Die meisten Beweise aus der Vorlesung kamen mir bisher immer so vor: Nimm das Axiom und mutmaße daraus das und folgere auf das Axiom. Ich weiß dass es an meinem Unverständis für dieses äußerst abstrakte Teilgebiet der Mathematik liegt, aber ich tu mich sehr schwer daran einen Ansatz zu finden...

24.10.2019, 21:26

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RE: Assoziative Verknüpfung zeigen

Zitat:

Ich kann die Hauptaussage so einigermaßen übersetzen, zumindest glaube ich das. A und B sind Teilmengen von G und daher in der Potenzmenge enthalten auf der die Abb. betrachtet wird. Diese werden auf die Verknüpfung der beiden Mengen abgebildet (?),

So weit, so richtig Freude

Zitat:

die Verknüpfung ist dann die Multiplikation.

Das aber nicht mehr, oder es ist ungenau formuliert. Die Verknüpfung der beiden Mengen wird hier als $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ geschrieben. Das ist zunächst mal nur ein Symbol, so wie $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ für die Verknüpfung der Gruppe G. Nach Definition ist $\begin{eqnarray*} A*B = \{ a \cdot b | (a,b) \in A \times B \} \end{eqnarray*}$ also gerade die Menge aller Produkte aus zwei Faktoren, wobei der erste Faktor aus A ist, der zweite aus B. Man hätte ebenso schreiben können $\begin{eqnarray*} A*B = \{ a \cdot b | a\in A , b\in B \} \end{eqnarray*}$ .
Um ein Gefühl für $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ zu bekommen, mach ein Beispiel. $\begin{eqnarray*} G=(\mathbb{R}\setminus\{0\},\cdot,1) \end{eqnarray*}$ die Gruppe der von Null verschiedenen reellen Zahlen mit der gewöhnlichen Multiplikation und der 1 als neutralem Element.
$\begin{eqnarray*} A=\{1,2\}, B=\{2,4\} \end{eqnarray*}$ . Die auftretenden Produkte sind dann $\begin{eqnarray*} 1\cdot 2=2, 1\cdot 4=4, 2\cdot 2=4,2\cdot 4=8 \end{eqnarray*}$ .Also ist $\begin{eqnarray*} A*B = \{ 2,4,8\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A*B)*C = \{ u \cdot c | u\in A*B , b\in B \} \end{eqnarray*}$ . Jetzt muss man sich nur daran erinnern, wie man die Elemente aus $\begin{eqnarray*} A*B \end{eqnarray*}$ als Produkt schreiben kann und landet beim Assoziativgesetz für die Verknüpfung $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ in der Gruppe G

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