Betrag endlicher Mengen

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25.10.2019, 19:45	Sophia123	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrag endlicher Mengen Meine Frage: Hi, Leute, könnt ihr mir bitte bei folgender Aufgabe helfen? "Vorgelegt seien endliche Mengen $\begin{eqnarray} M_{1}, ... , M_{n} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie die folgende Äquivalenz $\begin{eqnarray} M_{1}, ... , M_{n} \end{eqnarray}$ paarweise disjunkt genau dann, wenn $\begin{eqnarray} \| \bigcup_{i=1}^{n} M_{i} \| = \sum\limits_{i=1}^{n} \| M \| \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Was meint ihr: vollständige Induktion, ja oder nein? Ich weiß einfach nicht, wie die Rückrichtung zu zeigen ist. Könntet ihr mir bitte Tipps geben?
25.10.2019, 20:17	MaPalui	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Sophia, ich würde hier über die Kontraposition gehen. Zu zeigen wäre also: $\begin{eqnarray} M_1, \dots, M_n \end{eqnarray}$ nicht paarweise disjunkt $\begin{eqnarray} \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^n\|M_i\| \neq \left\|\cup_{i=1}^n M_i\right\| \end{eqnarray}$ Nun die Vereinigungsmenge als disjunkte Vereinigung darstellen und die Mächtigkeit betrachten.
25.10.2019, 20:55	SophiaMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Super Tipp, danke, MaPalui! Für die Hinrichtung hätte ich jetzt einfach $\begin{eqnarray} M_{1}, ... , M_{n} \end{eqnarray}$ parweise disjunkt $\begin{eqnarray} \Rightarrow \| \bigcup_{i=1}^{n} M_{i} \| = \|M_{1} \cup ... \cup M_{n}\| = \|M_{1}\| + .. + \|M_{n}\| = \sum\limits_{i=1}^{n} \| M \| \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ für die disjunkte Vereiniung stehen soll (finde hier nicht das eigentliche Symbol) Ich bin etwas skeptisch, weil das so einfach ist Setze ich hier vielleicht etwas voraus, was ich zusätzlich beweisen muss? Was meinst du?
25.10.2019, 20:56	SophiaMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, so ist es richtig: Super Tipp, danke, MaPalui! Für die Hinrichtung hätte ich jetzt einfach $\begin{eqnarray} M_{1}, ... , M_{n} \end{eqnarray}$ paarweise disjunkt $\begin{eqnarray} \Rightarrow \| \bigcup_{i=1}^{n} M_{i} \| = \|M_{1} \cup ... \cup M_{n}\| = \|M_{1}\| + .. + \|M_{n}\| = \sum\limits_{i=1}^{n} \| M \| \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ für die disjunkte Vereiniung stehen soll (finde hier nicht das eigentliche Symbol) Ich bin etwas skeptisch, weil das so einfach ist Setze ich hier vielleicht etwas voraus, was ich zusätzlich beweisen sollte/muss? Was meinst du?
25.10.2019, 21:28	MaPalui	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist nun nur die eine Richtung, allerdings nicht die, nach der du gefragt hattest. Sollte das so sein? Und bitte, wenn du dich schon nicht anmeldest, dann nutze vorher den Vorschaubutton. Zu deinem Beweis: Es kommt da auf die Veranstaltung an, die du hörst und was dort vorausgesetzt wird. Ich kenne es aus der Diskreten Mathematik, dort wird das was du aufgeschrieben hast als Definition eingeführt. Daher denke ich, das wird bei dir auch der Fall sein. Falls du es beweisen möchtest / musst, würde ich hier einmal mit " $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ " und einmal mit " $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ " arbeiten.
25.10.2019, 21:44	SophiaMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, stimmt, sorry, das mit dem Vorschaubutton hatte ich vergessen! Danke für den Hinweis! Und ja, das sollte so sein, denn eigentlich kam ich bei beiden Richtungen nicht so wirklich weiter Für die Rückrichtung kann man dann ja zwei Mengen $\begin{eqnarray} M_{j} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M_{k} \end{eqnarray}$ mit dem gemeinsamen Element $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ betrachten. Dann kommt man darauf, dass der Betrag des Terms links vom Gleichheitszeichen um 1 kleiner ist als der, der rechts steht Mich wundert es eben, dass es für die Aufgabe 5 Punkte gibt. Weil so, wie ich die gelöst habe, ist das so wenig. Aber andererseits: Wieso es unnötig verkomplizieren?
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25.10.2019, 21:54	MaPalui	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Punkte sollten kein Indikator sein
25.10.2019, 21:57	SophiaMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir kam gerade ein Gedanke: Vielleicht zielt die Aufgabe darauf ab, zu beweisen, dass die disjunkte Vereinigung endlicher Mengen ebenfalls endlich ist ... Was denkst du? Obwohl ... Hm ...
25.10.2019, 22:34	MaPalui	Auf diesen Beitrag antworten »
Poste doch vielleicht mal die Aufgabe
25.10.2019, 22:40	SophiaMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabe steht auf meinem Blatt genauso, wie ich es in meiner Frage geschrieben habe Ich weiß nicht, glaube eigentlich nicht, dass man zeigen soll, dass die disjunkte Vereinigung endlicher Mengen auch endlich ist Aber who knows

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