Realteil eines Signals in anderer Form ausdrücken

26.10.2019, 15:18	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Realteil eines Signals in anderer Form ausdrücken Hi , ich soll dieses Signal $\begin{eqnarray} x(t) = j\cdot e^{(-2+j100)t} \end{eqnarray}$ in folgender Form auffassen $\begin{eqnarray} A\cdot e^{-at}\cdot\cos(\omega t+\phi) \end{eqnarray}$ Mein Ansatz war nun: $\begin{eqnarray} x(t) = j\cdot e^{(-2+j100)t} = j\cdot e^{-2t}\cdot e^{j100t}=j\cdot e^{-2t}\cdot \left(\cos(100t)+j\sin(100t)\right) \end{eqnarray}$ Da es um den Realteil geht $\begin{eqnarray} Re\{x(t)\}=Re\{j\cdot e^{-2t}\cdot \left(\cos(100t)+j\sin(100t)\right)\} \end{eqnarray}$ daraus folgt: $\begin{eqnarray} Re\{j\}=0, A = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Re\{e^{-2t}\}, a = 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Re\{\cos(100t)+j\sin(100t)\} = \cos(100t), \omega = 100 \end{eqnarray}$ Aber wie kann ich nun $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ausdrücken, welches im Intervall von $\begin{eqnarray} -\pi \lt \phi \le \pi \end{eqnarray}$ (Aufgabenstellung) ist? Wenn ich mir $\begin{eqnarray} \cos(100t) \end{eqnarray}$ ansehe würde ich sagen $\begin{eqnarray} \phi = 0 \end{eqnarray}$ , aber der Kosinus soll ja in dieser Form aufgefasst werden: $\begin{eqnarray} \cos(\omega t + \phi) \end{eqnarray}$
26.10.2019, 15:37	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} j = e^{\frac{\pi}{2}j} \end{eqnarray}$ und daher $\begin{eqnarray} x(t) = e^{-2t+j\left(100t+\frac{\pi}{2}\right)} \end{eqnarray}$ mit Realteil $\begin{eqnarray} \operatorname{Re}(x(t)) = e^{-2t} \cos\left(100t+\frac{\pi}{2}\right) \end{eqnarray}$ .
26.10.2019, 16:06	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt! Jetzt wo es da steht Danke HAL

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