Vollständige Induktion Ungleichung

26.10.2019, 18:16

Sewen

Vollständige Induktion Ungleichung

Meine Frage:
Guten Abend allerseits,

ich komme bei Folgender Aufgabe nicht weiter. Man soll per vollständiger Induktion beweisen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum\limits_{k=1}^{n} a_{k} \right) \left(\sum\limits_{k=1}^{n} 1/a_{k} \right) \geq n^{2} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} a_{k} \in \mathbb R, a_{k} > 0, k=1,...,n \end{eqnarray*}$

Außerdem steht als Tipp dabei, dass man die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \alpha \beta \leq \frac{\alpha ^2+ \beta ^2}{2} \end{eqnarray*}$ verwenden darf.

Meine Ideen:
Also der Induktionsanfang: n=1

$\begin{eqnarray*} a_{1} * 1/a_{1} = \frac{a_{1}}{a_{1}} = 1 \geq 1^2= 1 \end{eqnarray*}$

ist ja noch recht simpel.

Probleme bereitet mir der Induktionsschluss...mein bishereriger Ansatz sieht wie folgt aus:

Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} a_{k} \right) \left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} 1/a_{k} \right) \geq \left(n+1\right)^2 = n^2+2n+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} a_{k} \right) \left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} 1/a_{k} \right) = \left(\sum\limits_{k=1}^{n} a_{k} +a_{n+1} \right)\left(\sum\limits_{k=1}^{n} 1/a_{k} + 1/a_{n+1} \right) = \left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} a_{k} \right) \left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} 1/a_{k} \right)+\left(\left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} a_{k} \right) * 1/a_{n+1} \right)+\left(a_{n+1}*\left(\sum\limits_{k=1}^{n} 1/a_{k} + 1/a_{n+1} \right)\right)+1 \geq n^2 +\left(\left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} a_{k} \right) * 1/a_{n+1} \right)+\left(a_{n+1}*\left(\sum\limits_{k=1}^{n} 1/a_{k} + 1/a_{n+1} \right)\right)+1 \,|\,gemäß\, Induktionsvorraussetzung \end{eqnarray*}$

was jetzt mMn noch übrig bleibt ist zu zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \left(\left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} a_{k} \right) * 1/a_{n+1} \right)+\left(a_{n+1}*\left(\sum\limits_{k=1}^{n} 1/a_{k} + 1/a_{n+1} \right)\right) \geq 2*n \end{eqnarray*}$

aber da hab ich jetzt keine Idee und der Tipp aus der Aufgabenstellung hilft mir auch nicht wirklich weiter...ist mein Ansatz falsch oder hab ich etwas Offensichtliches übersehen? Über einen Tipp wär ich sehr dankbar Wink

Freundliche Grüße

P.S- Sorry für die eingerückten Absätze. Ich hab noch nicht herausgefunden, wie ich die wegbekomme

26.10.2019, 19:55

HAL 9000

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Ich würde die CSU $\begin{eqnarray*} \left(\sum_{k=1}^n x_k^2\right) \cdot \left(\sum_{k=1}^n y_k^2\right) \geq \left(\sum_{k=1}^n x_ky_k\right)^2 \end{eqnarray*}$ per Vollständiger Induktion beweisen (falls du sie nicht eh schon verwenden darfst), und diese dann auf deinen Spezialfall $\begin{eqnarray*} x_k = \sqrt{a_k},y_k=\frac{1}{\sqrt{a_k}} \end{eqnarray*}$ anwenden...

Ok, falls du bei deinem Beweis bleiben willst: Es ist

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{k=1}^n a_k\right)\cdot \frac{1}{a_{n+1}} + a_{n+1}\cdot \left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k}\right) = \sum_{k=1}^n \left( \frac{a_k}{a_{n+1}} + \frac{a_{n+1}}{a_k} \right) \end{eqnarray*}$ .

Jeder der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Summanden hat also die Struktur $\begin{eqnarray*} x+\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ mit einer positiven Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , es reicht also aus für diese positiven $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} x+\frac{1}{x}\geq 2 \end{eqnarray*}$ nachzuweisen (was auch sehr einfach gelingt).

P.S.: In deinem Aufschrieb sind jede Menge inhaltliche Fehler - vornehmlich bei den oberen Summenindizes (sehr oft steht da n+1, obwohl du den letzten Summanden längst abgetrennt hast), aber auch noch weitere Fehler. Das solltest du mal sorgfältig überarbeiten.

26.10.2019, 21:34

Sewen

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Hallo Hal 9000,

Danke für deine schnelle Hilfe! Ich bleib bei deinem 2. Ansatz, da ich schon so viel wie möglich von meinen Gedanken einfließen lassen möchte, aber das war genau der Schritt der mir gefehlt hat.

Zitat:

P.S.: In deinem Aufschrieb sind jede Menge inhaltliche Fehler - vornehmlich bei den oberen Summenindizes (sehr oft steht da n+1, obwohl du den letzten Summanden längst abgetrennt hast), aber auch noch weitere Fehler. Das solltest du mal sorgfältig überarbeiten.

Danke für den Hinweis, ich denke ich hab es auf meinem Zettel richtig, aber das war jetzt mein erster Beitrag mit Latex und ich hab nicht genug darauf geachtet...tut mir Leid.

Aber danke nochmal für deine Hilfe, hast mir den Abend gerettet Freude

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