Äquivalenzrelationen auf ganzen Zahlen

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Rosalia Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelationen auf ganzen Zahlen
Meine Frage:
Also die Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Für ganze Zahlen x,y gelte x ~ y falls x = y oder x = -y
(a) Zeigen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation auf der Menge der ganzen Zahlen ist.
(b) Was sind hier die Äquivalenzklassen?
(c) Geben sie für jede Klasse einen Repräsentanten an.
(d) Wie kann man "+" sinnvoll auf der Quotientenmenge erklären.

Meine Ideen:
Kommen wir nun zu meinem Problem:
Ich bin seit gestern an dieser Aufgabe dran weil ich das mit den Äquivalenzrelationen noch nicht so wirklich verstanden habe.
Kann mir jemand einen Ansatz für die Aufgabe und ein Beispiel zeigen mit Elementen für das ~ eine Äquivalenzrelation auf den ganzen Zahlen wäre.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Für (a) musst du zeigen, dass die 3 Eigenschaften einer Äquivalenzrelation gelten. Für (b),(c),(d) musst du anschließend ein wenig nachdenken. Mache (a), dann helfe ich dir beim Denken.
Rosalia Auf diesen Beitrag antworten »

Da fängt es ja an. Ich weiß nicht genau wirklich wie ich das zeige.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine Teilmenge , die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
reflexiv :
symmetrisch :
transitiv:
(Das hättest du eigentlich wissen müssen, bevor du eine erste Aufgabe über Äquivalenzrelationen bearbeiten möchtest.)

Nun konkret : reflexiv :
(Da kann man nicht behaupten, dass dieser Beweis übermäßig schwierig ist.)
Rosalia Auf diesen Beitrag antworten »

Die einzelnen Definitionen von Reflexiv, Symmetrisch und Transitiv kannte ich ja ich hab nur nicht so wirklich verstanden bzw versteh es immernoch nicht so ganz wie man das anhand von der Menge der ganzen Zahlen zeigen soll.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Damit du reinkommst, gebe ich dir einmal acht Zahlen:



Sind welche von diesen äquivalent zueinander?
 
 
Rosalia Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelationen auf ganzen Zahlen
Zitat:
Original von Rosalia
Für ganze Zahlen x,y gelte x ~ y falls x = y oder x = -y


-3 und 3,
-6 und 6 oder nicht da hier doch x = -y wäre oder sehe ich das falsch?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so ist es. -3 und 3 sind äquivalent (ebenso -6 und 6).
-3 und 3 gehören also zur selben Familie. Gibt es noch weitere ganzen Zahlen, die dieser Sippe angehören?
Rosalia Auf diesen Beitrag antworten »

Um ehrlich zu sein weiß ich es gerade nicht. Also von denen die du aufgezählt hast glaube ich nicht
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es außer 3 und -3 noch weitere Zahlen , für die, wenn oder ist, entweder oder gilt?
Rosalia Auf diesen Beitrag antworten »

Halt y=3 und y=-3 würden die beiden einzeln doch jeweils auch gelten oder nicht?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Und was ist mit 2 ? Bedenke die bereits bewiesene Reflexivität der Relation.
Rosalia Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso jetzt genau die 2? Das versteh ich jetzt irgendwie nicht wieso die auch.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Niemand behauptet das. Es war nur eine Frage an dich.
Wir haben bereits festgestellt, daß 3 und -3 äquivalent sind, also derselben Familie angehören. Und jetzt ist die Frage, ob diese Familie noch weitere Mitglieder hat. Vielleicht die 2? Oder die -279? Oder die 24789?
Rosalia Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube nicht. Soweit wie ich das einschätze gehören hier immer eine positive zahl und ihre negative in eine Familie z.B. -3,3;-2,2;-1,1

Wahrscheinlich gilt das doch auch für die 0 da wenn x und y = 0 sind gilt doch x=y
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rosalia
Soweit wie ich das einschätze gehören hier immer eine positive zahl und ihre negative in eine Familie


Genau. Und diese "Familien" heißen Äquivalenzklassen. Wir haben also die folgenden Äquivalenzklassen:



Elemente, die derselben Äquivalenzklasse angehören, sind äquivalent, Elemente aus verschiedenen Äquivalenzklassen sind inäquivalent, zum Beispiel , aber

Zitat:
Original von Rosalia
Wahrscheinlich gilt das doch auch für die 0 da wenn x und y = 0 sind gilt doch x=y


Was machen wir nun mit der 0?
Rosalia Auf diesen Beitrag antworten »

0 bekommt doch wahrscheinlich seine eigene Äquivalenzklasse da hier doch x=y gilt oder nicht?
Oder kann es auch sein das es Zahlen gibt die gar keiner Äquivalenzklasse angehören?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es Zahlen gibt, die keiner Äquivalenzklasse angehören, dann ist die Relation nicht reflexiv. Ist sie aber (siehe oben). Frag nicht nur vermutenderweise, entscheide dich.
Rosalia Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Wenn es Zahlen gibt, die keiner Äquivalenzklasse angehören, dann ist die Relation nicht reflexiv. Ist sie aber (siehe oben). Frag nicht nur vermutenderweise, entscheide dich.


Ah ich verstehe das muss also immer für alle Zahlen gelten.
Damit müsste die 0 ja quasi ihrer eigenen Äquivalenzklasse angehören
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

JA. 0=0, also 0~0
Übrigens nicht "quasi". {0} ist die Äquivalenzklasse der Zahl 0.
Und jetzt sind alle ganzen Zahlen in Klassen eingeteilt. Das ist genau das, was eine Äquivalenzrelation macht.
Aufgabe (b) ist damit bravourös gelöst.
Rosalia Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabe c verlangt ja nach einem Repräsentanten jeder Klasse.
Das wäre in dem Fall die 0 und jeweils eine positive oder negative pro Klasse.

Die Aufgabenstellung von d versteh ich leider nicht so wirklich
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

zu (c) du eierst wieder mal rum. entscheide dich. entscheide dich so, dass (d) ein Kinderspiel wird.
Rosalia Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versteh aber nicht was mit der Aufgabenstellung gemeint ist. Hat nix mit rumeiern zu tun.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast in jeder von der {0} verschiedenen Klasse zwei Zahlen enthalten, je eine positive und je eine negative. Rumeiern heißt, du wählst jeweils eine positive oder eine negative. Zum Beispiel die Wahl 0,-1,-2,3,-4,5,6,-7, ... ist rumeiern. Stärke deine Entschlußfreudigkeit, indem du dich entscheidest. Eine kluge Entscheidung ist immer besser als "einerseits, andererseits" und "ich weiß nicht so recht" und "mal so, mal so, oder doch nicht".
Hier siehst du, wie sich ein Samurai namens Miyamoto Musashi entscheidet: https://www.youtube.com/watch?v=rmEip1b4e54 Solche Entschlußkraft braucht jede MathematikerIn.
Oder Zen-Meister Zensho W. Kopp : https://www.youtube.com/watch?v=zJ9o8dZh...RyL2XVYHJO4pwcd
Rosalia Auf diesen Beitrag antworten »

Ja dann zu c)
Die jeweiligen Repräsentaten der einzelnen Klassen sind die 0 und z.B. jede positive Zahl.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht "z.B." , entscheide dich ! Meister Zensho sagt "Die Ewigkeit ist immer jetzt."
Rosalia Auf diesen Beitrag antworten »

Ja dann sind die Repräsentanten in meiner Lösung die 0 und jede positive Zahl aus den Ganzen Zahlen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

(Elvis will dich zu Entscheidungen zwingen, damit du nicht "herumeierst" mit "zum Beispiel", "quasi" und anderen Unsicherheitsfloskeln. Ich gebe ihm aus didaktischen Gründen da recht. Inhaltlich stimmt es nicht ganz. Nach dem Auswahlaxiom könntest du aus jeder Äquivalenzklasse einfach mittels einer Auswahlfunktion einen Repräsentanten wählen, ohne ihn konkret zu benennen. Aber da sind wir dann bei der höheren Mengenlehre.)

Gut, bei der -Klasse wählen wir 0 als Repräsentanten. Eine andere Wahl haben wir ja nicht. Was machen wir bei den andern Klassen ? Vielleicht versuchst du es mit einer Formel.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@Rosalia
Das ist eine Entscheidung, womit (c) beantwortet ist. Leopolds Vorschlag einer Formel ist bedenkenswert, weil dann die Entscheidung festgelegt wird, also frei von Willkür ist.
Warum ist dies für (d) sogar eine weise Entscheidung ?
Rosalia Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Was machen wir bei den andern Klassen ? Vielleicht versuchst du es mit einer Formel.


Man könnte schreiben das alle Zahlen größer null und die null selbst jeweils Repräsentaten ihrer Ä-Klassen sind.

Bei d) weiß ich immernoch nicht was genau mit der Aufgabenstellung gemeint ist.

Die Quotientenmenge an sich ist die Menge aller Äquivalenzklassen.
Im Zusammenhang mit + könnte damit gemeint sein das es nur noch eine Menge aller positiven Zahlen dieser Äquivalenzklasse ist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist alles viel einfacher als du denkst.

Formel für (c) : |x| für x in {-x,x}

Idee für (d) : Natürliche Zahlen kann man addieren. Wenn man die Addition der Klassen als Addition der natürlichen Vertreter erklärt, hat man eine Addition auf der Quotientenmenge.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rosalia
Bei d) weiß ich immernoch nicht was genau mit der Aufgabenstellung gemeint ist.


Ich könnte es jetzt hochtrabend formulieren: Definiere die Addition auf den Äquivalenzklassen so, daß die Struktur isomorph zur Struktur ist.

Äquivalenz ist eine Art von Gleichheit. Dinge, die einmal verschieden waren, werden auf einmal nicht mehr unterschieden. Hier sperrt man 7 und -7 in dieselbe Äquivalenzklasse. Die Klasse selbst ist jetzt das neue Objekt. Nur sie selbst weiß noch, daß in ihr 7 und -7 liegen. Von außen betrachtet erkennen wir aber nur noch die Klasse als Ganzes. 7 und -7 verschwimmen zu einer Sache. In den Innereien der Äquivalenzklasse wühlen wir nur noch herum, wenn es unbedingt nötig ist. Da wir Zahlen, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden, als äquivalent ansehen, heben wir praktisch den Unterschied zwischen positiv und negativ auf. So werden aus den ganzen Zahlen durch diese Äquivalenzklassenbildung letztlich eine Art natürliche Zahlen. Jetzt definiere die Addition der Äquivalenzklassen so, daß sie die Addition in nachbildet.
Rosalia Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Es ist alles viel einfacher als du denkst.

Formel für (c) : |x| für x in {-x,x}

Idee für (d) : Natürliche Zahlen kann man addieren. Wenn man die Addition der Klassen als Addition der natürlichen Vertreter erklärt, hat man eine Addition auf der Quotientenmenge.


Sorry wenn ihr mich für dumm haltet aber ich versteh d immernoch nicht.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Lies meinen letzten Beitrag. Vielleicht hast du ihn, während du deinen abgefaßt hast, noch nicht bemerkt.
Rosalia Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Zitat:
Original von Rosalia
Bei d) weiß ich immernoch nicht was genau mit der Aufgabenstellung gemeint ist.


Ich könnte es jetzt hochtrabend formulieren: Definiere die Addition auf den Äquivalenzklassen so, daß die Struktur isomorph zur Struktur ist.

Äquivalenz ist eine Art von Gleichheit. Dinge, die einmal verschieden waren, werden auf einmal nicht mehr unterschieden. Hier sperrt man 7 und -7 in dieselbe Äquivalenzklasse. Die Klasse selbst ist jetzt das neue Objekt. Nur sie selbst weiß noch, daß in ihr 7 und -7 liegen. Von außen betrachtet erkennen wir aber nur noch die Klasse als Ganzes. 7 und -7 verschwimmen zu einer Sache. In den Innereien der Äquivalenzklasse wühlen wir nur noch herum, wenn es unbedingt nötig ist. Da wir Zahlen, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden, als äquivalent ansehen, heben wir praktisch den Unterschied zwischen positiv und negativ auf. So werden aus den ganzen Zahlen durch diese Äquivalenzklassenbildung letztlich eine Art natürliche Zahlen. Jetzt definiere die Addition der Äquivalenzklassen so, daß sie die Addition in nachbildet.


Ich zolle dir echt mega viel respekt dafür das du mir das versuchst so zu erklären aber da tut sich bei mir irgendwie nichts wenn ich daran denke das ich "+" sinnvoll auf der Quotientenmenge erklären soll.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



Ich habe das Plus mal in einen Kreis gesetzt, weil es ja gerade erst definiert wird und nicht mit dem anderen Plus, das es bei den ganzen Zahlen schon gibt, verwechselt werden darf. Wenn man etwas Erfahrung hat, ist man nicht so überpingelig und schreibt einfach nur +, weil man im Kontext ja erkennt, was gemeint ist.

Jetzt gib bei den Pünktchen eine Restklasse an, so daß durch die Addition in nachgebildet wird.
Rosalia Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold


Ich habe das Plus mal in einen Kreis gesetzt, weil es ja gerade erst definiert wird und nicht mit dem anderen Plus, das es bei den ganzen Zahlen schon gibt, verwechselt werden darf. Wenn man etwas Erfahrung hat, ist man nicht so überpingelig und schreibt einfach nur +, weil man im Kontext ja erkennt, was gemeint ist.

Jetzt gib bei den Pünktchen eine Restklasse an, so daß durch die Addition in nachgebildet wird.


Meine Kopf sagt mir das sollte so aussehen:
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee ist prinzipiell richtig, die Ausführung hakt aber noch. Es könnte ja sein, daß und ist. Dann würde da stehen:



Das wollen wir irgendwie nicht so richtig ...
Rosalia Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Die Idee ist prinzipiell richtig, die Ausführung hakt aber noch. Es könnte ja sein, daß und ist. Dann würde da stehen:



Das wollen wir irgendwie nicht so richtig ...

Also müssen wir das wie folgt machen wahrscheinlich:



Also wenn wir für den ersten teil der summe jeweils nur den Betrag addieren von x und y und für den zweiten teil addieren wir die negativen Beträge zusammen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist total verdreht. Richtig ist



Jetzt stimmt das völlig unabhängig davon, ob oder positiv oder negativ sind.

Alternativ kannst du auch einschränkende Bedingungen an stellen, zum Beispiel so:

Für mit sei

Vielleicht habt ihr in der Vorlesung für die von repräsentierte Äquivalenzklasse eine Bezeichnung eingeführt wie zum Beispiel oder . Dann würde man das so formulieren:

Für mit sei

Und wenn einem klar ist, daß das Plus zwischen den Äqivalenzklassen ein anderes als das zwischen den ganzen Zahlen ist, dann darf man auch schreiben:

Für mit sei
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