Reelle Zahlen, deren Dezimalbruchentwicklung eine 2 enthält

27.10.2019, 16:02	yannik0103	Auf diesen Beitrag antworten »
Reelle Zahlen, deren Dezimalbruchentwicklung eine 2 enthält Meine Frage: Hi, ich habe folgende Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Menge der reellen Zahlen, deren Dezimalbruchentwicklung die Ziffer 2 enthält, Lebesgue-meßbar ist. Meine Ideen: Ich weiß leider nicht, wie ich diese Menge konstruieren soll, um die Aufgabe zu lösen, deshalb habe ich bis noch keine Ideen. Danke für eure Hilfe
28.10.2019, 09:28	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme mal an, es geht nur um Zahlen aus dem Intervall $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ , oder? Ansonsten müsste man auch die Ziffern vor dem Komma berücksichtigen - ist auch keine Katastrophe, aber lästig (falls es doch der Fall ist, dann kannst du die folgenden Überlegungen ja auf diesen Fall anpassen). Sei also $\begin{eqnarray} \Omega=[0,1] \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ ... Menge der Zahlen aus $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ , die an Nachkommastelle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ der Dezimalbruchentwicklung die Ziffer 2 aufweisen. Dann ist $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ eine endliche Vereinigung von Intervallen, somit Lebesgue-messbar. Die gesuchte Menge ist schlicht $\begin{eqnarray} A:=\bigcup_{n\geq 1} A_n \end{eqnarray}$ , und somit als abzählbare Vereinigung von Lebesgue-messbaren Mengen ebenfalls Lebesgue-messbar. Man ermittelt unschwer $\begin{eqnarray} \lambda(A)=1 \end{eqnarray}$ , d.h., lebesgue-fast alle Zahlen des Intervalls $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ enthalten eine Zwei in ihrer Dezimalbruchentwicklung.

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