Unterkörper

27.10.2019, 18:22

Laura001

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Unterkörper

Meine Frage:
Hi, könnte mir jemand bitte einen Hinweis geben, wie die Aufgabe zu lösen ist?

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt {5} \end{eqnarray*}$ nicht zum Unterkörper $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ [ $\begin{eqnarray*} \sqrt {2} \end{eqnarray*}$ ] $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R | x = a + b \sqrt {2}, a, b \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ } von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gehört

Meine Ideen:
Man muss doch eigentlich "nur" zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} a + b \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ für keine $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} \sqrt {5} \end{eqnarray*}$ ist, oder?

Aber wie macht man das am besten?

27.10.2019, 18:35

Elvis

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Genau das ist zu zeigen. Quadriere $\begin{eqnarray*} a+b\sqrt 2=\sqrt 5 \end{eqnarray*}$

27.10.2019, 18:47

Laura001

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RE: Unterkörper
Danke!

Per Quadrieren kommt man auf

$\begin{eqnarray*} a^{2} + 2ab \sqrt {2} + 2b^{2} - 5 = 0 \end{eqnarray*}$

Und jetzt vielleicht via pq-Formel die Nullstellen in Anhängigkeit von b bestimmen?

27.10.2019, 19:10

Elvis

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Löse nach $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ auf, und denke an Euklid.

27.10.2019, 20:21

Laura001

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RE: Unterkörper
Danke!!! Also man kommt auf

$\begin{eqnarray*} \sqrt {2} = \frac{5 - a^{2} - 2b^{2}}{2ab} \end{eqnarray*}$

Und jetzt zeigt man, dass daraus folgen würde, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ rational ist, was jedoch, wie Euklid gezeigt hat, nicht möglich ist!

27.10.2019, 23:43

Laura001

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RE: Unterkörper
Ne, Quatsch, also ich habe jetzt nach b aufgelöst

$\begin{eqnarray*} b = \frac{\sqrt{5} - a}{\sqrt {2}} \end{eqnarray*}$

Und daraus folgt doch schon die Aussage, oder? Denn wir sehen hier, dass b unmöglich rational sein kann, soll die Gleichung gelten. Andererseits ist b nach Voraussetzung rational. Somit ist die linke Seite der Gleichung niemals gleich der rechten.

Was meinst du, Elvis?

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28.10.2019, 00:50

Helferlein

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Bin zwar nicht Elvis, aber deine erste Variante hat mir besser gefallen. Du müsstest nur noch begründen (nicht zeigen), weshalb die rechte Seite rational ist.

Bei der zweiten Variante (Umformen nach b) müsstest Du nachweisen, dass der rechte Term nicht rational sein kann, was wegen den beiden Wurzeln nicht so einfach sein dürfte.

28.10.2019, 10:56

Elvis

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Die erste Idee ist sehr viel besser als die zweite, nicht nur, weil sie von mir kommt. Brüche rationaler Zahlen sind fast immer rationale Zahlen, es muss nur eine Ausnahme betrachtet werden.

30.10.2019, 20:06

Laura001

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Okay, danke erst eimmal an euch beide!

"Brüche rationaler Zahlen sind fast immer rational" ... Ja, das ergibt Sinn. Ich habe jetzt $\begin{eqnarray*} a= \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b =\frac{r}{s} \end{eqnarray*}$ gesetzt und weiter umgeformt. Ich kam so auf

$\begin{eqnarray*} \sqrt 2 = \frac{5q^{2}s^{2}-s^{2}p^{2} - 2r^{2}q^{2}}{pqrs} \end{eqnarray*}$

Und daraus ergibt sich doch nun der Widerspruch, oder nicht? Denn sowohl im Nenner als auch im Zähler stehen jetzt natürliche Zahlen

30.10.2019, 20:28

Laura001

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Vergesst das. Es geht ja viel einfacher.

Aus der Abgeschlossenheit von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} \frac{5-a^{2}- 2b^{2}}{2ab} \end{eqnarray*}$ rational ist. Allerdings müssen wir den Fall $\begin{eqnarray*} a = b = 0 \end{eqnarray*}$ wegen der Nullteilerfreiheit ausschließen

Was meint ihr?

30.10.2019, 21:34

Elvis

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Genau so. Was ist, wenn der Nenner gleich 0 ist? Dazu muss aber nicht a=b=0 sein.

30.10.2019, 21:44

Laura001

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Stimmt, da war ich unaufmerksam. Wir müssen ausschließen, dass $\begin{eqnarray*} a= 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b = 0 \end{eqnarray*}$ . Oder meintest du mit "Ausnahme" etwas anderes, Elvis?

Brüche rationaler Zahlen sind doch immer rational, oder nicht?

30.10.2019, 21:48

Elvis

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Genau das ist die Ausnahme 2ab=0, und diese eine Ausnahme ist gleichbedeutend mit a=0 oder b=0. Für diese Ausnahme kannst du zurückgehen zu $\begin{eqnarray*} a+b\sqrt 2=\sqrt 5 \end{eqnarray*}$ .

30.10.2019, 22:02

Laura001

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Ach so, danke!!! Für den zweiten Fall (a=0 oder b=0) ist

$\begin{eqnarray*} a = \sqrt {5} \to \end{eqnarray*}$ Widerspruch, da $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ laut Voraussetzung rational ist.

oder

$\begin{eqnarray*} b \sqrt {2} = \sqrt {5} \Rightarrow b = \frac{\sqrt {5}}{\sqrt {2}} \to \end{eqnarray*}$ Widerspruch, denn der Bruch zweier irrationaler Zahlen ist immer irrational und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist rational

oder

$\begin{eqnarray*} 0 = \sqrt {5} \to \end{eqnarray*}$ Widerspruch

Zusammengenommen mit dem ersten Fall (a und b ungleich 0) ergibt sich, dass die Gleichung für keine rationalen a un b lösbar ist.

30.10.2019, 22:16

URL

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Zitat:

denn der Bruch zweier irrationaler Zahlen ist immer irrational

Das stimmt so nicht, wie das Beispiel $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$ zeigt

30.10.2019, 23:07

Laura001

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Stimmt, danke für den Hinweis! Kann ich denn dann so argumentieren

Sei $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt {5}}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ rational. Dann ließe er sich als Bruch zweier ganzer Zahlen p und q schreiben, also

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt {5}}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$

Somit wäre $\begin{eqnarray*} \sqrt {5} = a p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt {2} = aq \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und somit beide rational --> Widerspruch!

31.10.2019, 09:17

Elvis

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Das geht leider auch nicht, aber du kannst die Gleichung quadrieren und p, q als teilerfremd annehmen.

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