Vollständige Induktion

27.10.2019, 21:59

The Equalizer

Vollständige Induktion

Meine Frage:
Hallo,
ich benötige Hilfe zu der Aufgabe:
Für alle n Element von den natürlichen Zahlen gilt: Die Summe aller Zahlen kleiner als 10n, welche weder durch 2 oder 5 teilbar sind, beträgt 20n^2.

Meine Ideen:
Ich weiß wie eine vollständige Induktion funktioniert, aber ich weiß nicht wie ich diese Aussage formell mit Summenzeichen aufschreiben soll, sodass ich die Aussage dann beweisen kann.
Vielen Dank

27.10.2019, 22:17

Helferlein

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Wenn S(n) die gesuchte Summe ist, dann lässt sie sich als Summe dreier Teilsummen ausdrücken.
Deren Grenzen kannst Du exakt angeben und damit rechnen.

27.10.2019, 23:04

The Equalizer

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Danke für die Antwort.
Wenn ich als beispiel n=1 eins wähle, dann würden ja 1+3+7+9 addiert werden. Das sind doch aber 4 Bereiche und wie kann ich dann diese Bereiche mit dem Summenzeichen schreiben ?

27.10.2019, 23:07

The Equalizer

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ich habe mir auch gedacht, dass ich s(n) = 2i-1 schreiben kann. Dann habe ich schonmal alle ungeraden Zahlen, aber ich komme nicht darauf wie ich dann alle Zahlen die durch 5 teilbar sind da wegbekomme

28.10.2019, 00:38

Helferlein

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Das "weder" hatte ich überlesen, ändert aber nicht viel.

Nehmen wir mal das Beispiel n=1, das Du selber genannt hast.

Es gilt $\begin{eqnarray*} S(1)=1+3+7+9=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)-(2+4+6+8+10)-(5+10)+10 \end{eqnarray*}$

Wie ich auf diese Zerlegung gekommen bin, solltest Du selber herausfinden und sie dann für n verallgemeinert als Summe mit entsprechendem Laufindex darstellen.

28.10.2019, 09:47

The Equalizer

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Vielen Dank erstmal. Ich denke ich habe es jetzt hinbekommen die allgemeine Formel aufzustellen. Nun habe ich aber ein Problem beim Induktionsschritt/-schluss:
Ich will zeigen, dass 20*(n+1)^2 = 20n^2 +40n + 20 äquivalent zu 20n^2+10n+10-10n-10-10n-10+10n+10 ist. Aber das ist es nicht also habe ich irgendwo einen Fehler...

Das ist die allgemeine Formel, die ich aufgestellt habe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{10n}i - \sum\limits_{i=1}^{5n}2i - \sum\limits_{i=1}^{2n}5i + \sum\limits_{i=1}^{n}10i = 20n^2 \end{eqnarray*}$

28.10.2019, 09:59

HAL 9000

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Ich sehe prinzipiell zwei Beweisvarianten:

1) Du beweist die Behauptung per Vollständiger Induktion, oder

2) Du begründest, dass dieses dein

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{10n}i - \sum_{i=1}^{5n}2i - \sum_{i=1}^{2n}5i + \sum_{i=1}^n 10i \end{eqnarray*}$

inhaltlich richtig ist (d.h. genau die geforderten Summanden abdeckt). Die Auswertung dieser Summen geschieht mit dem bekannten Kleinen Gauß. In diesem Fall ist Induktion nicht mehr nötig.

28.10.2019, 10:03

The Equalizer

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Danke für die Antwort. Leider habe ich vergessen dazu zu schreiben, dass die Aufgabe verlangt den Beweis per vollständige Induktion zu führen... Hammer

28.10.2019, 10:03

klarsoweit

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Hm. Meine Glaskugel ist heute leider indisponiert. Vielleicht kannst du uns ein wenig von deiner Rechnung verraten.

28.10.2019, 10:18

The Equalizer

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Meine Annahme ist ja, dass diese Formel gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{10n}i - \sum\limits_{i=1}^{5n}2i - \sum\limits_{i=1}^{2n}5i + \sum\limits_{i=1}^{n}10i = 20n^2 \end{eqnarray*}$

und dadurch auch A(n+1) gelten muss.

Das muss ich nun mit Hilfe der Annahme zeigen deswegen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{10n}i+10(n+1) - \sum\limits_{i=1}^{5n}2i+2(5(n+1)) - \sum\limits_{i=1}^{2n}5i+ 5(2(n+1)) + \sum\limits_{i=1}^{n}10i+10(n+1) \end{eqnarray*}$

Und das habe ich dann geschrieben als: $\begin{eqnarray*} 20n^2 + 10(n+1) - (2(5(n+1))) - (5(2(n+1))) + 10(n+1) \end{eqnarray*}$

wegen der Annahme. Und wenn ich das verienfache dann komme ich auf $\begin{eqnarray*} 20n^2 \end{eqnarray*}$ aber das ist nicht das gleiche wie $\begin{eqnarray*} 20(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

28.10.2019, 10:28

HAL 9000

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Dir unterlaufen da ganz böse Fehler:

Beim Übergang von $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{10n}i \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{10(n+1)}i \end{eqnarray*}$ kommt doch nicht nur der Summand $\begin{eqnarray*} 10(n+1) \end{eqnarray*}$ hinzu, sondern die umfangreichere Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{i=10n+1}^{10(n+1)}i \end{eqnarray*}$ , das sind insgesamt 10 neue Summanden Forum Kloppe

Warum machst du es dir überhaupt so schwer? Bei Weg 1) kannst du doch im Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} n\to n+1 \end{eqnarray*}$ so vorgehen:

Hier dürfen wir Induktionsvoraussetzung $\begin{eqnarray*} S(n)=20n^2 \end{eqnarray*}$ benutzen. Um von dieser Summe ausgehend auf $\begin{eqnarray*} S(n+1) \end{eqnarray*}$ zu kommen, müssen wir nur diejenigen ganzen Zahlen aus dem Intervall $\begin{eqnarray*} \left[10n, 10(n+1)\right) \end{eqnarray*}$ hinzuaddieren, die weder durch 2 noch durch 5 teilbar sind. Es sollte kein größeres Kopfzerbrechen bereiten, diese wenigen Zahlen (es sind vier) anzugeben.

28.10.2019, 10:42

The Equalizer

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Vielen Vielen Dank... Gott

$\begin{eqnarray*} 20n^2+10n+1+10n+3+10n+7+10n+9 = 20n^2+40n+20 \end{eqnarray*}$
und das entspricht genau $\begin{eqnarray*} 20(n+1)^2 \end{eqnarray*}$ .

Aber ich habe nicht ganz meinen Fehler verstanden: Wieso wird aus i=1 --> i=10n+1 ?

28.10.2019, 10:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von The Equalizer
Wieso wird aus i=1 --> i=10n+1 ?

Sehr bizarr, wenn du diese Essenz aus meinem Beitrag ziehst. unglücklich

Nehmen wir beispielsweise mal $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ : Dann sind

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{10n} i = \sum_{i=1}^{30} i = 1+2+\ldots+30 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{10(n+1)} i = \sum_{i=1}^{40} i = 1+2+\ldots+40 \end{eqnarray*}$

Was kommt "neu" hinzu? Nun, das ist $\begin{eqnarray*} 31+\ldots+40 \end{eqnarray*}$ statt nur 40. Ich weiß nicht, was es da noch groß an Einsicht braucht.

28.10.2019, 11:00

The Equalizer

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Achsooo ich denke jetzt habe ich verstanden: mein Fehler war, dass ich beim Übergang von

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{10n}i \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{10(n+1)}i \end{eqnarray*}$ nur $\begin{eqnarray*} 10n+10 \end{eqnarray*}$ addiert habe, obwohl ich $\begin{eqnarray*} 10n+1 +10n+2...10n+10 \end{eqnarray*}$ addieren müsste....

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