Kombinatorik an Kalenderbeispiel

28.10.2019, 23:22	MariaNeu	Auf diesen Beitrag antworten »
Kombinatorik an Kalenderbeispiel Meine Frage: Hallo! Könntet ihr mir bitte bei folgender Aufgabe helfen? Sie geht so: "30 Personen schreiben ihren Geburtstag in einen Kalender. Jede schreibt ihren Namen an den entsprechenden Tag. Dabei seien alle Namen verschieden. Beantworten Sie die folgenden Fragen: 1. Wie viele verschiedene Kalender sind möglich? 2. Wie viele der möglichen Kalender sind derart, dass keine zwei Personen am gleichen Tag Geburstag haben? 3. Bei wie vielen haben mindestens zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag? 4. Bei wie vielen hat mindestens eine Person am 1. Januar Geburtstag?" Bin über jede Hilfe dankbar! Meine Ideen: Also ich habe für Fragen 1-3 1. $\begin{eqnarray} 365^{30} \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} 30! \begin{pmatrix} 365 \\ 30 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{29} k! \begin{pmatrix} 365 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Gelangt ihr zu denselben Ergebnissen? Und habt ihr vielleicht eine Idee für Frage 4?
28.10.2019, 23:31	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Tatsächlich ergibt sich 3) als Differenz von 1) und 2). Die von dir angegebene Summe hat nichts mit dem gesuchten Wert zu tun. 4) Gegenereignis ("Alle 30 Geburtstage sind nicht der 1.Januar") betrachten, die gesuchte Anzahl ist daher wieder eine Differenz: $\begin{eqnarray} 365^{30}-364^{30} \end{eqnarray}$ .
28.10.2019, 23:48	MariaNeu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kombinatorik an Kalenderbeispiel Okay, danke! Also sind 1 und 2 richtig und 3 falsch ... Ist 3 grundfalsch, oder muss ich nur eine kleine Änderung vornehmen?
29.10.2019, 02:50	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
3.) das ist mir zu kompliziert. Wenn etwas mit mindestens dasteht, fällt einem doch sofort das Gegenteil: nicht (wenigstens 2 gleiche Tage) = alle Tage sind verschieden ein: $\begin{eqnarray} \underbrace{365\cdot 364\cdot363 \cdot 362 \cdots 336}_{\text{Auswahlmöglichkeiten der Pers. 1,2,3 ... 30}}=\prod_{k=1}^{30} (365-k+1)\,=\,\binom {365}{30}30!\,=\,V_{oR}(365, 30) \end{eqnarray}$ Demnach ist die Anzahl der Kalender $\begin{eqnarray} 365^{30}-\prod_{k=1}^{30} (365-k+1)\approx 5.21\cdot 10^{76} \end{eqnarray}$ ergo wie oben von HAL 9000 formuliert. Wenn man das durch $\begin{eqnarray} 365^{30} \end{eqnarray}$ dividiert, erhält man die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von 30 Personen gleiche Geburtstage auftreten aka Geburtstagsparadoxon/Geburtstagsproblem $\begin{eqnarray} p(G(30))\approx 70.6\% \end{eqnarray}$

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