Winkel zwischen Raumdiagonalen von einem Quader

29.10.2019, 12:29	Quaderquestion	Auf diesen Beitrag antworten »
Winkel zwischen Raumdiagonalen von einem Quader Meine Frage: Zu Berechnen ist der Winkel zwischen zwei Raumdiagonalen in einem Quader mit a=8,5, b=4,2, c=5,9 Die Raumdiagonale d=11,17cm Meine Ideen: Ich habe die Diagonale von links vorn unten nach rechts hinten oben (A zu G) und die Diagonale von rechts vorn unten nach links hinten oben (B zu H) geschnitten. Dann habe ich die vier Eckpunte ABGH verbunden, so dass ein .REchteck entsteht. In diesem Rechteck habe ich den Winkel der Diagonalen d mit der Seite a berechnet. Alpha= arc cos (a/d)=40,52° Diesen Winkel gibt es noch mal bei ABH zwischen a und der zweiten Diagonalen. Er ist ebenfalls 40,52°. ==> der Schnittwinkel der Diagnoalen beträgt: 180°-2*40,52 = 99,1° der Nebenwinkeln (2. Schnittwinkel) beträgt: 180°-99,1°=80,9° Ist das Vorgehen so richtig???? Wenn ich statt der Raumdiagonalen von BH die Raumdiagonale FD mit AG schneide. Entstehen dann andere Winkel?
29.10.2019, 13:59	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Rechnung stimmt. Ich habe mir das einmal allgemein überlegt. Bei den Schnittwinkeln der Raumdiagonalen eines Quaders gibt es drei verschiedene Winkelpaare. Jedes Paar besteht aus einem Winkel und seinem Nebenwinkel (deren Cosinuswerte Negative voneinander sind). Sind $\begin{align} a,b,c \end{align}$ die Seitenlängen des Quaders, so hat einer der Winkel des Paars einen der Cosinuswerte $\begin{align} \frac{-a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2} \, , \ \ \frac{a^2-b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2} \, , \ \ \frac{a^2+b^2-c^2}{a^2+b^2+c^2} \end{align}$ In deinem Beispiel hast du dich für die erste Möglichkeit entschieden. Mit $\begin{align} a = 8{,}5; \ b = 4{,}2; \ c = 5{,}9 \end{align}$ erhält man für den Schnittwinkel $\begin{align} \delta \end{align}$ und seinen Nebenwinkel $\begin{align} \delta' \end{align}$ : $\begin{align} \cos \delta = \frac{-a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2} \ \ \Rightarrow \ \ \delta = 99{,}14^{\circ}; \ \delta' = 80{,}86^{\circ} \end{align}$

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