Dimension eines Vektorraums

29.10.2019, 13:04	Matrickser	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension eines Vektorraums Meine Frage: Untersuchen Sie, ob die Menge B = {(1,2,3)^T; (3,4,5)^T; (-1,0-1)^T} linear unabhängig ist. Meine Ideen: Habe das ganze als Gleichungssystem aufgestellt, aufgelöst und dann eine Nullzeile erhalten, dementsprechend gibt es unendlich viele Lösungen, z.B. wäre eine Lösung -2Vektor1+1Vektor2+1*Vektor3. Damit ist das System linear abhängig, weil ich einen der Vektoren aus den 2 anderen darstellen kann. In der Lösung steht allerdings des Weiteren, dass die Dimension dieses Raums 2 ist. Bei Vektoren mit 3 Komponenten handelt es sich ja eigentlich in der Regel um 3 Dimensionen. Handelt es sich hier nur um die Dimension 2, weil es unendlich viele Lösungen gibt und man ergo nicht alle Vektoren braucht, um den Raum darzustellen?
29.10.2019, 13:21	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Meiner Rechnung nach sind die Vektoren linear unabhängig.
29.10.2019, 16:43	Matrickser	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind sie eigentlich nicht hast du beim dritten Vektor bei der dritten Komponente ne 1 oder ne -1 sein, muss natürlich ne 1 sein, habe da das Komma mit einem - vertauscht auf der Tastatur
29.10.2019, 17:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, es kann sein, dass andere Vektoren linear abhängig sind. Das kann man leider nicht ausschließen.
30.10.2019, 10:46	Matrickser	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, sorry! War ja aber eigentlich auch nicht die Frage Stimmt meine Annahme zur Dimension?
30.10.2019, 11:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das homogene LGS $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \| & 0\\ 3 & 4 & 5 & \| & 0 \\ -1 & 0 & 1 & \| & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ hat den eindimensionalen Lösungsraum $\begin{eqnarray} \mathbb L=\{t\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}:t\in K\} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ der Körper ist, über dem der Vektorraum definiert ist, in dem der Lösungsraum ein Untervektorraum ist. Ohne Körper gibt es keinen Vektorraum und keinen Lösungsraum, deshalb muss man den Körper immer mit angeben. Die Lösungsmenge heißt Kern der zugehörigen linearen Abbildung. Der Rang der Matrix ist gleich der Dimension des Bildraums der zugehörigen linearen Abbildung, dieser Bildraum hat die Dimension 2.
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