Extrempunkte Mehrdimensional

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hilo Auf diesen Beitrag antworten »
Extrempunkte Mehrdimensional
Meine Frage:
Hallo zusammen.
Ich habe die folgende Aufgabe (siehe Bild).




Meine Ideen:
zu a)



1.
2.

Die Lösung dieses GS ist (0,0), das sind also die stationären Punkte.


zu b)





.



also Minimum.


zu c)






Die Matrix ist offensichtlich positiv semi Definit also Lokales minimum

Achso meine Frage ist natürlich ob meine Ergebnisse stimmen?
Bin mir nicht so sicher bei den Ergebnissenunglücklich

LaTeX repariert und zwei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Warum sollte aus der positiv semidefinitheit der Hessematrix ein Minimum folgen?
Hilo Auf diesen Beitrag antworten »

Achja das muss nicht unbedingt so sein verwirrt wie soll ich nun weiter vorangehen?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Da die Hessematrix Dir nicht ausreichend Informationen liefert, solltest Du die Umgebung des Punktes näher untersuchen. Es kann sich ja nur um einen Sattelpunkt oder ein Minimum handeln.
Hilo Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm okay und wie genau soll ich das machen ?

Es sollte ja aufjedenfall f(0,0) = 0 < f(x,y) für alle x,y gelten oder ?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du der Meinung bist, dass es sich um ein Minimum handelt, dann ja.

Bei einem Sattelpunkt könntest Du z.B. versuchen zwei Kurven zu finden, die durch den Nullpunkt gehen, aber sowohl positive wie negative Werte annehmen.

Vielleicht hilft es auch eine Faktorisierung der Funktion vorzunehmen. Augenzwinkern
 
 
Hilo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde kein Gegenbeispiel für ein Minimum traurig
Ich gibs auf
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Tip: Es seien Parameter. Betrachte auf der Kurve



Spiele ein bißchen mit Werten für herum, um herauszufinden, wie es sich mit dem Vorzeichen von in der Gegend von verhält.

EDIT
Die Formulierung c) der Aufgabe ist im übrigen Bockmist. Es müßte heißen: "Besitzt f an der Stelle (0,0) ein lokales Minimum?" Entweder ist die Formulierung dort schlampig dahingepfuscht oder - schlimmer - der Aufgabensteller weiß nicht, was er sagt. Ich finde, man sollte dazu der Übungsleitung eine kritische Rückmeldung geben.
hilo2 Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen.




Für a=0 und b=1:

f=t^2 >0

Ich habe versucht die Funktion kleiner zu machen geht aber nicht
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



EDIT
Ich sehe gerade, du hast geschrieben, ich schlug jedoch vor.
hilo23 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube auf die Zahlen bist du nicht durch raten gekommen.





Setzen wir für a=1 ein erhalten wir



Für t ungleich 0 gilt




Lösen der Quadratischen Gleichung liefert b=1,2

Die Werte die, die Ungleichung erfüllen liegen im Intervall [1,2]

Also kriegt man Beispielsweise für b=1,5 ein negativen Wert. Somit hat f an der Stelle (0,0) ein Sattelpunkt oder ?


Was heißt eigentlich in der Gegend von (0,0) ? Gehört (1,1,5) auch zu der Gegend ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich habe tatsächlich probiert. Was ich nicht probiert habe, ist der Ansatz und , denn es ging mir darum, einen möglichst einfachen Potenzausdruck in zu bekommen.
"Gegend" ist ein spontaner populär-mathematischer Begriff, die korrekte Bezeichnung ist "Umgebung", was dir aus der Elementartopologie, soweit man sie in einem Anfängerkurs Analysis behandelt, bekannt sein sollte. "Umgebung" ist nichts Statisches, sondern etwas Dynamisches. Deswegen heißt es bei den typischen Definitionen und Sätzen der Analysis zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit auch immer "in jeder Umgebung von" (oder auch mal umgekehrt "es gibt eine Umgebung von"). Erst mit dem Allquantor entsteht Dynamik. Man quantifiziert zwar über alle Umgebungen, schließt damit aber vor allem beliebig kleine Umgebungen ein, und in der Vorstellung geht es nur um diese.

Die Punkte liegen, wenn nur dem Betrage nach genügend klein ist, beliebig nahe an . Oder, fachmännischer ausgedrückt: In jeder (überflüssigerweise, aber didaktisch dennoch hilfreich: noch so kleinen) Umgebung von gibt es Punkte der Gestalt mit . Für diese Punkte gilt . Also nimmt in jeder (noch so kleinen) Umgebung von positive Werte an.
Auch die Punkte liegen beliebig nahe bei , wenn nur genügend klein ist. Und für gilt: . Also nimmt in jeder (noch so kleinen) Umgebung von negative Werte an.
In jeder (noch so kleinen) Umgebung von nimmt daher sowohl positive als auch negative Werte an und kann daher bei kein Extremum besitzen.
hilo3 Auf diesen Beitrag antworten »

Wow vielen dank. Du hast das echt super erklärt smile Freude

Können wir denn dann folgern das dieser Punkt ein Sattelpunkt ist ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hilo3
Können wir denn dann folgern das dieser Punkt ein Sattelpunkt ist ?


Wenn ich nur wüßte, was im Mehrdimensionalen ein "Sattelpunkt" ist! Weißt du das?
Im übrigen ist das doch gar nicht die Aufgabe in c). Diese Aufgabe ist längst gelöst: besitzt bei kein lokales Extremum (insbesondere kein Minimum). Fertig!
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