Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum

30.10.2019, 08:28

WiwiUndStochastikOje

Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum

Hey

,

ich verstehe nicht, worauf Aufgabe 1b abzielt bzw. mir fehlt ein Ansatz.

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Kann jemand helfen? Mit Zunge

30.10.2019, 08:41

WiwiUndStochastikOje

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Selbst bei dieser wahrscheinlich einfachen Aufgabe bin ich mir unsicher. verwirrt

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Die (ii) geht einfach:

P(Ac&Bc) = P(AvB)^c = 1 - P(AvB) = 1 - P(A) - P(B) + P(A&B) = 13/24.

Bei der (i) finde ich keine Umformung, die funktioniert. Allerdings durch aufzeichnen erschließt sich mir, dass P(A&Bc) = P(A\B) = P(A) - P(A&B) = 1/8.
Allerdings bin ich mir 1. nicht sicher ob das stimmt und 2. denke ich, dass es da eine Umformung geben muss, die das besser macht.
In meinem Skript finde ich nirgends, dass P(A\B) = P(A) - P(A&B), aber das gilt doch immer oder nicht?
Edit: Und auch nicht, dass P(A&Bc) = P(A\B) gilt verwirrt

30.10.2019, 08:54

HAL 9000

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Zu 1(b) Das gleichzeitige Eintreten der Ereignisse $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ entspricht dem Eintreten des Durchschnitts $\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ , und das "impliziert" heißt dann $\begin{eqnarray*} A\cap B \subseteq C \end{eqnarray*}$ .

1(c) Das ganze kannst du in einer Vierfeldertafel darstellen

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{l|ll} 1 & P(B) & P(B^c)\\ \hline P(A) & P(A\cap B) & P(A\cap B^c)\\ P(A^c) & P(A^c\cap B) & P(A^c\cap B^c)\end{array} \end{eqnarray*}$

wobei in der obersten Zeile die Spaltensummen, in der linken Spalte die Zeilensummen stehen. Die Spaltensummen summiert ergibt natürlich ebenso wie die Zeilensummen summiert gleich 1. Die Angaben der Aufgabenstellung sowie bereits ein klein wenig gerechnet ergibt sich zunächst

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{l|ll} 1 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\ \hline \frac{1}{4} & \frac{1}{8} & P(A\cap B^c)\\ \frac{3}{4} & P(A^c\cap B) & P(A^c\cap B^c)\end{array} \end{eqnarray*}$

Den Rest wirst du doch über Differenzbildungen ausfüllen können, oder?

30.10.2019, 09:09

WiwiUndStochastikOje

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Erstmal vielen Dank, das macht es deutlich einfacher! Freude

Die 1b schau ich mir gleich an.

Für (A&Bc) kommt nach der Vierfeldertafel 3/24 raus.

Fraglich für mich ist jetzt, was an meinem Gedankengang so falsch ist unglücklich

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A&Bc ist doch einfach die Menge A ausschließlich der Menge A&B.
Warum kommt bei P(A&Bc) = P(A) - P(A&B) = 1/8 raus?

Nochmals vielen Danke für deine Mühe, du bringst es echt auf den Punkt und das sehr anschaulich! Mit Zunge

Ahhhhhhhhhhhhhhh nvm, bitte nicht antworten.... Ich hätte erst nachdenken sollen traurig

30.10.2019, 09:12

WiwiUndStochastikOje

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Also habe ich die Aufgabe ja richtig!
Aber trotzdem danke für die Vierfeldertafel, das hilft für die Zukunft ungemein! Mit Zunge

30.10.2019, 09:32

WiwiUndStochastikOje

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Zitat:

Original von HAL 9000
Zu 1(b) Das gleichzeitige Eintreten der Ereignisse $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ entspricht dem Eintreten des Durchschnitts $\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ , und das "impliziert" heißt dann $\begin{eqnarray*} A\cap B \subseteq C \end{eqnarray*}$ .

Meine Lösung: smile

z.z.:
P(C) >= P(A) + P(B) - 1

<-> P(C) - P(A&B) >= P(A) + P(B) - P(A&B) - 1

P(A) + P(B) - P(A&B) - 1 = P(AvB) - 1 <= 0.
P(C) - P(A&B) >= 0, weil (A&B) Teilmenge von C ist.

Ist das richtig? Mit Zunge

30.10.2019, 10:16

HAL 9000

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Ich sags mal so: Alle wichtigen Gedanken für einen erfolgreichen Beweis sind beisammen, aber in der Darlegung geht es reichlich konfus zu! Bei fast jeder Zeile muss man raten "Wird da gerade die Behauptung äquivalent umgeformt, oder soll das eine wirklich gesicherte Ungleichung sein?"

Ich hätte mir sowas in der Art vorgestellt:

$\begin{eqnarray*} P(C) \stackrel{1)}{\geq} P(A\cap B) = P(A)+P(B)-P(A\cup B) \stackrel{2)}{\geq} P(A)+P(B)-1 \end{eqnarray*}$ ,

dabei gilt 1) wegen $\begin{eqnarray*} A\cap B\subseteq C \end{eqnarray*}$ , und 2) wegen $\begin{eqnarray*} P(A\cup B)\leq 1 \end{eqnarray*}$ .

Muss natürlich nicht genauso sein, aber etwas mehr logische Nachvollziehbarkeit als bei dir wäre schon angebracht.

30.10.2019, 10:50

Dopap

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wenn du in Latex mal eine solche Tafel zum Ausfüllen brauchst :

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|c||c|c||c|} \hline \big \backslash &A=Tastatur & A^c & \sum \\ \hline B=Display & 2\% & & 8\% \\ \hline B^c & & A^c\cap B^c & \\ \hline \sum & 12\% & & 100\% \\ \hline \end{array} \end{eqnarray*}$

smile

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