Extrema, notwendige und hinreichende Bedingung, Beweis

Neue Frage »

hilo3 Auf diesen Beitrag antworten »
Extrema, notwendige und hinreichende Bedingung, Beweis
Hallo zusammen. Es geht um die folgende Aufgabe siehe Bild.


Zur a)

z.z ist ein lokales Minimum daraus folgt

Diesen Beweis konnte ich machen. Schwierigkeiten habe ich bei

z.z ist ein lokales Minimum daraus folgt


Mein Ansatz:

Es gilt:

, da folgt


wie kann ich nun zeigen das dieser Ausdruck größer gleich 0 ist ?

Ich habe eine Idee bekommen:


Sei ist nun
dann ist und es folgt (wegen lokale minimum) . Also zähler und Positiv negativ daraus folgt der gesamte Ausdruck ist positiv.


Wenn dann ist und es folgt : Zähler und nenner positiv also insgesamt Positiv.


geht das so ? Allerdings hätte ich halt nirgends >=

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extreme Notwendige Bedingung und Hinreichende Beweis
Da steht der Hinweis auf die Taylorentwicklung. Nimm diese mal bis zum 2. Grad.
hilo3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extreme Notwendige Bedingung und Hinreichende Beweis
Ich glaube dieser Hinweis ist für die b) gedacht, aber ok:



Taylorreihe von im entwicklungspunkt :




so und jetzt verwirrt
hilo233 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extreme Notwendige Bedingung und Hinreichende Beweis
ahh willst du auf folgendes hinweisen:






Daher gilt gilt




und wegen ist der Zähler steht größer gleich null und der nenner ist für x ungleich x^* immer positiv. Meintest du das ?
hilo2233 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extreme Notwendige Bedingung und Hinreichende Beweis
Dann könnte man doch die b) genauso einfach lösen oder ?


, da die erste Ableitung null ist gilt:





Da die Rechte Seite stets positiv ist, ist es auch somit gilt für alle x in einer Umgebung von x^* so oder ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extreme Notwendige Bedingung und Hinreichende Beweis
Zitat:
Original von hilo2233

Das ist nicht ganz korrekt. Es müßte lauten:

 
 
hilo2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extreme Notwendige Bedingung und Hinreichende Beweis
AH also ist alles was ich bis jetzt gemacht habe falsch traurig


Dann sag mir mal bitte wie ich jetzt vorgehen soll.

Und geht es gerade um die a) oder b)?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extreme Notwendige Bedingung und Hinreichende Beweis
Im Moment geht es um Aufgabe b. Wegen haben wir nun:



Da f''(x^*) > 0 ist und f'' stetig, gilt in einer kleinen Umgebung um x^*, daß ist.
Der Rest ist dann klar.
Hilo2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extreme Notwendige Bedingung und Hinreichende Beweis
Was ist denn der letzte Term ? Die Restgliedabschätzung ?

Und was ist mit der a) dazu hatte ich eigentlich was gemacht verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extrema, notwendige und hinreichende Bedingung, Beweis
Zitat:
Original von Hilo2
Was ist denn der letzte Term ? Die Restgliedabschätzung ?

Ich verstehe jetzt die Frage nicht. Wir haben doch nun, daß ist, wobei ist für zeta aus einer genügend kleinen Umgebung um x^*. Offensichtlich folgt daraus nun, daß für x ungleich x^* ist.

Zitat:
Original von Hilo2
Und was ist mit der a) dazu hatte ich eigentlich was gemacht verwirrt

An dieser Stelle:
Zitat:
Original von hilo3
Sei ist nun
dann ist und es folgt (wegen lokale minimum) .

wäre es mir lieb, wenn du die Ungleichung etwas besser begründest. Ansonsten ist es ok.
hilo3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extrema, notwendige und hinreichende Bedingung, Beweis
Ja aber ich verstehe nicht wieso du auf einmal das Argument in der zweiten Ableitung zeta nennst verwirrt Der Entwicklungspunkt ist doch x^* ???
Das ist mir irgendwie ein Rätsel.. Müsste man bei der Taylorformel nicht ein Restglied betrachten ? Die Taylorformel approximiert ja nur die Funktion f..


Was soll ich bei der Ungleichung begründen ? Die Funktion muss ja an der stelle berg abgehen daher ist die Ableitung an dieser Stelle kleiner 0, oder wie würdest du es begründen ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extrema, notwendige und hinreichende Bedingung, Beweis
Zitat:
Original von hilo3
Ja aber ich verstehe nicht wieso du auf einmal das Argument in der zweiten Ableitung zeta nennst verwirrt Der Entwicklungspunkt ist doch x^* ???
Das ist mir irgendwie ein Rätsel.. Müsste man bei der Taylorformel nicht ein Restglied betrachten ? Die Taylorformel approximiert ja nur die Funktion f..

In der Formel ist doch der letzte Summand das Restglied.
Siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-For...ilch-Restglieds

Zitat:
Original von hilo3
Was soll ich bei der Ungleichung begründen ? Die Funktion muss ja an der stelle berg abgehen daher ist die Ableitung an dieser Stelle kleiner 0, oder wie würdest du es begründen ?

Nun ja, das ist eher eine bildliche Begründung. Hilfreich wäre es, wenn das schon anderweitig irgendwo bewiesen wurde.
Hilo3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extrema, notwendige und hinreichende Bedingung, Beweis
Das wurde leider nicht bewiesen :/ kann ich die a) nicht anders beweisen?
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »