Verteilen von Fischen

30.10.2019, 13:50

katring

Verteilen von Fischen

Meine Frage:
Ich habe eine Aufgabe von meinem Studium, bei der ich absolut nicht weiterkomme.

Per, Are, Kari und Trine angeln. Sie angeln 15 Fische, die sie verteilen wollen.
Folgende Bedingungen muessen erfuellt werden:
Per soll mindestens 3, aber nicht mehr als 6 Fische bekommen
Are soll eine gerade Anzahl Fische bekommen
Kari soll eine Anzahl bekommen, die durch drei teilbar ist.
Trine soll nicht mehr als 4 Fische bekommen.

Benutze erzeugende Funktionen um zu bestimmen, wie viele Møglichkeiten es gibt, die die Bedingungen erfuellen.

Meine Ideen:
...

30.10.2019, 19:35

mYthos

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Mittels Versuch und Irrtum wirst du hoffentlich schon einige Varianten herausgefunden haben.
Natürlich ist das Szenario auch mathematisch darzustellen.
Seien die Anzahlen der Fische der einzelnen Personen x, y, z und w, so sind folgende Bedingungen aufzustellen:

$\begin{eqnarray*} 3 \leq x \leq 6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = 2r; \ r \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = 3s; \ s \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w \leq 4 \end{eqnarray*}$
----------------------

$\begin{eqnarray*} x + y + z + w = 15 \end{eqnarray*}$

Die Variablen sind sämtlich natürliche Zahlen und angesichts der gegebenen Bedingungen und der Gesamtanzahl von 15 ziemlich eingeschränkt.
So, und nun mache etwas daraus.

mY+

30.10.2019, 21:05

Dopap

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anschaulich ist das eine bestimmte Punktmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb P \subset \mathbb N^4 \end{eqnarray*}$
aus dem 4-dimensionalen Zahlenraum.

Jede der Bedingungen kann man sich einzeln vorstellen, z. B. ist die letzte Bedingung ein Teil einer Hyperebeneim im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$
Der Schnitt aller ist dann die Lösungsmenge. Augenzwinkern

Bei der Suche nach der Anzahl der Elemente ist dies aber nicht wirklich hilfreich. unglücklich

Mit dem Konzept der erzeugenden Funktionen bin ich aber nicht ausreichend vertraut. Sorry

30.10.2019, 21:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von katring
Benutze erzeugende Funktionen um zu bestimmen, wie viele Møglichkeiten es gibt, die die Bedingungen erfuellen.

Schade, dass Mystic nicht mehr hier aktiv ist, der wäre gleich mit Vorschlag

"Koeffizient von $\begin{eqnarray*} t^{15} \end{eqnarray*}$ der Reihenentwicklung von $\begin{eqnarray*} t^3\frac{1-t^4}{1-t}\cdot \frac{1}{1-t^2}\cdot \frac{1}{1-t^3}\cdot \frac{1-t^5}{1-t} = \frac{t^3(1-t^4)(1-t^5)}{(1-t)^2(1-t^2)(1-t^3)} \end{eqnarray*}$ "

gekommen. Will man tatsächlich ein Polynom (d.h. eine abbrechende $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ -Reihe) angeben mit dem selben Koeffizienten vor $\begin{eqnarray*} t^{15} \end{eqnarray*}$ , dann leistet dies

$\begin{eqnarray*} t^3\frac{1-t^4}{1-t}\cdot \frac{1-t^{14}}{1-t^2}\cdot \frac{1-t^{15}}{1-t^3}\cdot \frac{1-t^5}{1-t} = \frac{t^3(1-t^4)(1-t^5)(1-t^{14})(1-t^{15})}{(1-t)^2(1-t^2)(1-t^3)} \end{eqnarray*}$ .

P.S.: "Møglichkeiten" find ich klasse. Big Laugh

30.10.2019, 23:42

katring

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Vielen Dank euch allen!

Aber die letzte Formal sagt mir absolut nichts. So haben wir das glaube ich nicht in der Vorlesung gemacht. Aber gut, ich kann das mit den erzeugenden Funktionen auch nicht...

Møglichkeiten ist lustig? :-)

30.10.2019, 23:54

HAL 9000

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Naja, vielleicht ist der aus lauter geometrischen Partialsummen bestehende Term

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} t^3\frac{1-t^4}{1-t}\cdot \frac{1-t^{14}}{1-t^2}\cdot \frac{1-t^{15}}{1-t^3}\cdot \frac{1-t^5}{1-t} \end{eqnarray*}$

ja auch in der Form

$\begin{eqnarray*} \left(t^3+t^4+t^5+t^6\right)\left(1+t^2+t^4+t^6+t^8+t^{10}+t^{12}\right)\left(1+t^3+t^6+t^9+t^{12}\right)\left(1+t+t^2+t^3+t^4\right) \end{eqnarray*}$

verständlicher. Augenzwinkern

Zitat:

Original von katring
Møglichkeiten ist lustig? :-)

Nicht so sehr wie logorhythmus, aber immerhin.

31.10.2019, 09:13

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von katring
Møglichkeiten ist lustig? :-)

Nicht so sehr wie logorhythmus, aber immerhin.

Nur nebenbei: dieser Fehler (wie auch ein "Dankeschøn" in einem früheren Thread) und die Aufgabenstellung deuten auf einen skandinavischen Migrationshintergrund des Fragestellers hin. smile

Daher sei für katring angemerkt, dass es im Deutschen den Buchstaben ø nicht gibt, es heißt "Möglichkeiten". Wo das ö auf Deiner Tastatur liegt, weiß ich allerdings nicht.

Lustig ist es aber in der Tat für alte Asterix-Fans wie mich, der sofort an den "følligen blødsint" bei der "großen Überfahrt" denken muss...

Viele Grüße
Steffen

31.10.2019, 09:24

Leopold

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Die mYthos-Fleiß-Methode:

$\begin{align*} x+y+z+w=15 \end{align*}$
$\begin{align*} x \in \{3,4,5,6\}; \ y \in \{0,2,4,6,8,10,12\}; \ z \in \{0,3,6,9,12\}; \ w \in \{0,1,2,3,4\} \end{align*}$

Wegen $\begin{align*} 3 \leq x+w \leq 10 \end{align*}$ gilt $\begin{align*} 5 \leq y+z \leq 12 \end{align*}$ .

Die Möglichkeiten für $\begin{align*} y+z \end{align*}$ :

$\begin{align*} y+z = 12 = 0+12 = 6+6 = 12+0 \end{align*}$
$\begin{align*} y+z = 11 = 2+9 = 8+3 \end{align*}$
$\begin{align*} y+z = 10 = 4+6 = 10+0 \end{align*}$
$\begin{align*} y+z = 9 = 0+9 = 6+3 \end{align*}$
$\begin{align*} y+z = 8 = 2+6 = 8+0 \end{align*}$
$\begin{align*} y+z = 7 = 4+3 \end{align*}$
$\begin{align*} y+z = 6 = 0+6 = 6+0 \end{align*}$
$\begin{align*} y+z = 5 = 2+3 \end{align*}$

Jetzt die korrespondierenden Möglichkeiten für $\begin{align*} x+w \end{align*}$ :

$\begin{align*} x+w = 3 = 3+0 \end{align*}$
$\begin{align*} x+w = 4 = 3+1 = 4+0 \end{align*}$
$\begin{align*} x+w = 5 = 3+2 = 4+1 = 5+0 \end{align*}$
$\begin{align*} x+w = 6 = 3+3 = 4+2 = 5+1 = 6+0 \end{align*}$
$\begin{align*} x+w = 7 = 3+4 = 4+3 = 5+2 = 6+1 \end{align*}$
$\begin{align*} x+w = 8 = 4+4 = 5+3 = 6+2 \end{align*}$
$\begin{align*} x+w = 9 = 5+4 = 6+3 \end{align*}$
$\begin{align*} x+w = 10 = 6+4 \end{align*}$

Aus den Anzahlvektoren, wie sie sich aus beiden Gleichungslisten der Reihe nach ergeben, ist jetzt das Skalarprodukt zu bilden:

$\begin{align*} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 4 \\ 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 37 \end{align*}$

Die Mystic-HAL-Methode hat den Vorteil, daß sie dieses Zählproblem mit einem allgemeinen Ansatz behandelt. Bei der konkreten Berechnung des Koeffizienten von $\begin{align*} x^{15} \end{align*}$ wird man aber eine ähnliche Zählmethode verwenden müssen wie oben. Hat man natürlich ein CAS, so ist der allgemeine Ansatz unschlagbar. Die Berechnung völlig überflüssiger Koeffizienten beim Ausmultiplizieren des Polynoms wird durch die Schnelligkeit des Rechners aufgewogen.

31.10.2019, 11:29

katring

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Super! Das sieht für mich verständlicher aus. Vielen Dank!

31.10.2019, 11:33

katring

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Nein, ich bin deutsch. Aber ich wohne in Norwegen. Daher auch die nordischen Namen in der Aufgabenstellung. :-) Ich war zu faul die Tastatur umzustellen. Ö kann ich auch.

31.10.2019, 12:46

Leopold

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Vorsicht. Du hast jetzt zwar eine Lösung, sie ist aber nicht von der geforderten Art.

Zitat:

Original von katring
Benutze erzeugende Funktionen um zu bestimmen, wie viele Møglichkeiten es gibt, die die Bedingungen erfuellen.

Falls mit "erzeugenden Funktionen" HALs Ansatz gemeint ist, solltest du diesen genau studieren, begreifen und zu Ende führen. Die Aufgabe ist in diesem Sinne noch nicht gelöst.

31.10.2019, 14:04

katring

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Danke für den Hinweis!

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