Surjektivität in einem Intervall

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Pazan Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektivität in einem Intervall
Meine Frage:
Hi, es geht um folgende Funktion: x -> (2x+5)/(x-3) aus dem Intervall (3, unendlich). Nun soll man in a) einen einen Wertebereich angeben und zeigen, dass für die resultierende Funktion surjektiv für den angegebenen Wertebereich ist. Und in c) dann die Umkehrfunktion bilden und bijektivität nachweisen. Daher die Fragen:



Meine Ideen:
1) reicht es aus, dass ich den Wertebereich einfach angebe oder muss man den rechnerisch bestimmen?
2) Ich habe für den Nachweis der Surjektivität einfach die Umkehrfunktion gebildet und das für einen Wert nachgewisen, der in dem Bereich liegt. Reciht das, bzw. warum ist dann bei c nochmal ausgewiesen, dass man die Umkehrfunktion bilden?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde sagen, einfach angeben reicht nicht. Rechnerisch begründen? Es kommt darauf an, was du unter rechnerisch verstehst. Du mußt den Wertebereich eben mit Methoden der Analysis ermitteln. Später ist ja zu begründen, daß die Funktion bijektiv, also umkehrbar ist. Da der Definitionsbereich ein Intervall ist, geht das bei einer stetigen Funktion nur, wenn sie streng monoton wächst oder fällt. Also würde ich auf die strenge Monotonie hinarbeiten und das Randverhalten studieren. Dann bekommst du den Wertebereich und die Umkehrbarkeit in einem. Du kannst die Monotonie mit der Ableitung untersuchen. Alternativ könntest du den Funktionsterm auch auf die Gestalt bringen, an der man alles ablesen kann.
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