Jedes Primelement der Primfaktorzerlegung homogen

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Mathefrosch7 Auf diesen Beitrag antworten »
Jedes Primelement der Primfaktorzerlegung homogen
Meine Frage:
Hallo!

Ich wollte fragen ob meine Lösung zu folgender Aufgabe richtig ist:

K Körper, f homogenes Polynom in K[X1,...,Xn]. Man zeige, dass jedes Primelement der Primfaktorzerlegung homogen ist.

Meine Ideen:
Meine Lösung:
Man überlegt sich leicht, dass (unformal notiert):
homogen * homogen = homogen,
Homogen * inhomogen = inhomogen

Nun gehe man induktiv über den Grad von f vor. Bei 0 ist es trivial.
Für n+1 unterscheide man 2 Fälle: f ist prim, trivial.
Sonst ist f darstellbar als Produkt eines Polynoms des Grades n und eines des Grades 1.
Ersteres zerfällt per Annahme in homogene Primelemente und ist somit auch homogen.
Daher muss das von Grad 1 auch homogen sein. Und man erhält wieder per Induktionsannahme dass es in homogene Primelemente zerfällt.

Mir fällt selber ein Fehler auf:

Dass das Polynom vom Grad n in homogene Primelemente zerfällt ist iA falsch, da es nicht zwingend homogen ist.

Ich modifiziere folgendermaßen:

Offenbar sind entweder beide (also das Polynom des Grades n und das des Grades 1) homogen oder beide nicht homogen.
Aber da ein Polynom des Grades 1 von der Form c + kX oder c + kY ist, sieht man, dass (wegen c) das Produkt mit einem inhomogenen Polynom auch inhomogen ist. Dieser Fall impliziert demnach ein Falsum.

Damit zerfällt das Polynom in 2 homogene Polynome des Grades n bzw 1 und die Induktionsannahme ist anwendbar.

Geht das nun?

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen
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