Jedes Primelement der Primfaktorzerlegung homogen |
31.10.2019, 08:45 | Mathefrosch7 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Jedes Primelement der Primfaktorzerlegung homogen Hallo! Ich wollte fragen ob meine Lösung zu folgender Aufgabe richtig ist: K Körper, f homogenes Polynom in K[X1,...,Xn]. Man zeige, dass jedes Primelement der Primfaktorzerlegung homogen ist. Meine Ideen: Meine Lösung: Man überlegt sich leicht, dass (unformal notiert): homogen * homogen = homogen, Homogen * inhomogen = inhomogen Nun gehe man induktiv über den Grad von f vor. Bei 0 ist es trivial. Für n+1 unterscheide man 2 Fälle: f ist prim, trivial. Sonst ist f darstellbar als Produkt eines Polynoms des Grades n und eines des Grades 1. Ersteres zerfällt per Annahme in homogene Primelemente und ist somit auch homogen. Daher muss das von Grad 1 auch homogen sein. Und man erhält wieder per Induktionsannahme dass es in homogene Primelemente zerfällt. Mir fällt selber ein Fehler auf: Dass das Polynom vom Grad n in homogene Primelemente zerfällt ist iA falsch, da es nicht zwingend homogen ist. Ich modifiziere folgendermaßen: Offenbar sind entweder beide (also das Polynom des Grades n und das des Grades 1) homogen oder beide nicht homogen. Aber da ein Polynom des Grades 1 von der Form c + kX oder c + kY ist, sieht man, dass (wegen c) das Produkt mit einem inhomogenen Polynom auch inhomogen ist. Dieser Fall impliziert demnach ein Falsum. Damit zerfällt das Polynom in 2 homogene Polynome des Grades n bzw 1 und die Induktionsannahme ist anwendbar. Geht das nun? Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen |
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