Winkel im Dreieck berechnen

31.10.2019, 12:49

Nina3467

Winkel im Dreieck berechnen

Meine Frage:
Hallo, ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter und zwar: Im Dreieck ABC hat die Winkelhalbierende wß die Steigung m. Zeichne das Dreieck ABC und berechne die fehlenden Seitenlängen und Winkelmaße
Gegeben ist A(-1|2) ;B(6|0) ; a= 5,3 LE; m= -2

Ich komme nicht weiter wie man auf den Winkel ß kommt

Meine Ideen:
Zuerst bin ich vorangegangen mit tan e = m also -2= tan e => e* -63,43?
e= 180? -63,43? = 116,57?

Weiter komme ich bei der Aufgabe nicht ich hoffe ihr habt Ideen
Lg

31.10.2019, 13:23

Steffen Bühler

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RE: Winkel im Dreieck berechnen
Willkommen im Matheboard!

Als nächstes würde ich von der Strecke AB den Winkel zur Horizontalen bestimmen. Wenn Du dann noch Fragen hast, melde Dich.

Viele Grüße
Steffen

31.10.2019, 13:58

Nina3467

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RE: Winkel im Dreieck berechnen
Wie bestimmt man den Winkel zur Horizontalen?

31.10.2019, 14:03

riwe

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RE: Winkel im Dreieck berechnen
vielleicht hilft´s Augenzwinkern

31.10.2019, 14:10

Steffen Bühler

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RE: Winkel im Dreieck berechnen

Zitat:

Original von Nina3467
Wie bestimmt man den Winkel zur Horizontalen?

Übers Steigungsdreieck. Schau Dir das Bild von riwe (dankeschön!) an.

02.11.2019, 10:54

Nina3467

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RE: Winkel im Dreieck berechnen
Danke für eure Hilfe aber ich kann mir nicht erklären wie man auf den Punkt c kommt dafür braucht man doch erst den Winkel ß

02.11.2019, 11:20

Steffen Bühler

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RE: Winkel im Dreieck berechnen
Ja, in der Tat. Deswegen ja mein Tipp.

Wie groß ist denn nun der Winkel zur Horizontalen? Und wie groß ist deswegen der verbleibende Winkel bis zur eingezeichneten Geraden mit m=-2?

02.11.2019, 12:57

mYthos

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Die Rechnung über die expliziten Winkel ist zwar geometrisch eingängig, weil es dem Konstruktionsgang entspricht, aber ungenau und umständlich, weil im Endeffekt ja nur die Steigungen der Geraden interessieren.
Um dies zu umgehen, kann die Schnittwinkelformel (zweier Geraden) benützt werden:

$\begin{eqnarray*} \tan \varphi = \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1m_2} \end{eqnarray*}$ ; diese entspricht letztendlich der Differenzbildung der entsprechenden Winkel.

Somit ist $\begin{eqnarray*} \tan \frac{\beta} 2 = \frac{-\frac 2 7 + 2}{1+\frac 4 7} = \frac{12}{11} \end{eqnarray*}$

Die Steigung $\begin{eqnarray*} m_a \end{eqnarray*}$ der Geraden a ist dann mittels

$\begin{eqnarray*} \frac{-2 - m_a}{1-2m_a} = \frac{12}{11} \end{eqnarray*}$

zu bestimmen. Dieser Weg ist "typisch analytisch", ohne einen Winkel berechnen zu müssen.
Danach geht es um die Berechnung des Punktes C.
Dazu wird der eben berechnete Steigungsvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ m_a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ normiert und dessen 5,3-faches von B aus abgetragen ...
(Mittels Kontruktionsganges wäre die Gerade a mit einem Kreis um B, mit dem Radius 5,3 , zu schneiden; sh. Grafik)

Anmerkung:
Um nicht versehentlich mit den Nebenwinkeln zu rechnen, ist in der Formel unbedingt darauf zu achten, dass die Steigung $\begin{eqnarray*} m_2 \end{eqnarray*}$ von jener Geraden zu nehmen ist, die den größeren Winkel mit der positiven x-Achse einschließt (!)

mY+

02.11.2019, 15:56

HAL 9000

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mYthos' Weg ist ideal geeignet, wenn man auch die Koordinaten von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ sucht. Wenn man wirklich nur die Seiten und Winkel des Dreiecks $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ ausrechnen soll, kann man nach

Zitat:

Original von mYthos
Somit ist $\begin{eqnarray*} \tan \frac{\beta} 2 = \frac{-\frac 2 7 + 2}{1+\frac 4 7} = \frac{12}{11} \end{eqnarray*}$

auch etwas anders abbiegen: Dann ist

$\begin{eqnarray*} \cos(\beta) = \frac{1-\tan^2\frac{\beta}{2}}{1+\tan^2\frac{\beta}{2}} = -\frac{23}{265} \end{eqnarray*}$

und damit kann man dann via Kosinussatz $\begin{eqnarray*} b=|AC| \end{eqnarray*}$ berechnen, und darauf aufbauend dann auch die anderen Winkel im Dreieck (per Sinus- oder Kosinussatz).

22.11.2019, 20:25

Nina3467

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Danke für die Hilfe, jetzt habe ich es endlich verstanden smile

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