Existenz einer Kongruenz

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Asau Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz einer Kongruenz
Meine Frage:
Hallo,

mir fehlt der Ansatz bei folgender Aufgabe:

Seien teilerfremd. Dann gibt es , so dass .

Meine Ideen:
Wie gesagt, mir fehlt der Ansatz. Ich habe zunächst an den kleinen Fermat und an den chinesischen Restsatz gedacht.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Asau
Ich habe zunächst an den kleinen Fermat und an den chinesischen Restsatz gedacht.

Und da sagst du, dass dir der Ansatz fehlt? Das ist der Ansatz, wenn wir mal "Fermat" durch "Euler-Fermat" ersetzen:

Nimm sowie , und schon bist du fertig. Augenzwinkern
Asau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Nimm sowie , und schon bist du fertig. Augenzwinkern

Danke. Dann hatte ich richtig angefangen, bin dann aber hängen geblieben: Es gilt ja dann

und
.

Meine nächste Idee war, die beiden Kongruenzen zu addieren. Dann würde zwar die linke Seite passen, rechts wäre dann aber 2 statt 1 und außerdem sind die Module unterschiedlich verwirrt .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Soll das verwirrt bedeuten, dass dir noch nicht klar ist, dass gilt? Es ist

sowie

damit folgt der Teilerfremdheit von wegen auch . Was ist daran noch unklar?
Asau Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, tut mir leid, das war mir noch überhaupt nicht klar. Für mich sind Kongruenzen ein noch unbekanntes Feld und gleichzeitig stehe ich wohl auf dem Schlauch.

Okay, also ich definiere .

Wegen Satz von Euler-Fermat gilt bzw. .

Es ist .
Analog ist dann .

Zitat:
Original von HAL 9000
damit folgt der Teilerfremdheit von wegen auch . Was ist daran noch unklar?

Das habe ich noch nicht verstanden. Tut mir leid. Wenn man es kann, ist es sicher pille palle.
Asau Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hat es glaube ich geklingelt:

Es ist und

 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Scheint so, als ist die Klingel in Ordnung. Freude


Nochmal eingeordnet: Für paarweise teilerfremde Module mit Produkt sowie vorgegebene Reste besitzt das Kongruenzsystem



laut Chinesischem Restsatz ja genau eine Lösung . Im Spezialfall muss diese Lösung zwangsläufig sein.
Asau Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, danke. Ich musste deine Einordnung selbst noch einordnen, aber es hat jetzt weitgehend (noch nicht ganz) Klick gemacht smile
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