Beweis Normalteiler

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Namenspitz Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Normalteiler
Meine Frage:
Moin,

sei eine Gruppe, eine Untergruppe und habe genau zwei Elemente. Dann ist Normalteiler von .

Meine Ideen:
Der Prof hatte nicht erwähnt, was bedeutet. Ich vermute, es ist das, was bei Wikipedia "Faktor-" bzw. "Quotientengruppe" genannt wird, also die Menge der Linksnebenklassen von .

Ich habe versucht, mir das am Beispiel , plausibel zu machen. Weil abelsch ist, gilt natürlich für jede ganze Zahl .

Kann mir jemand einen heißen Tipp geben?
Namenspitz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Normalteiler
Mist, kann nicht editieren. Kann jemand das fixen und einmal habe ich statt geschrieben (auf Wiki nennen sie es ).
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Für alle ist und und .
Namenspitz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Für alle ist und und .

Das ist, was zu zeigen ist, oder? Also ersteres.

Also laut Wiki ist und in meinem Fall gilt . Ist nicht ein Element dieses Gebildes immer selbst (wie bei meinem Beispiel mit den gerade und ungeraden Zahlen)?
Namenspitz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Namenspitz
Ist nicht ein Element dieses Gebildes immer selbst (wie bei meinem Beispiel mit den gerade und ungeraden Zahlen)?

Halt, nein, das ist Unsinn.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Hinweise sind Hinweise und nicht das, was zu zeigen ist. Warum die Hinweise richtig sind musst du wissen oder beweisen. Dann musst du die Hinweise benutzen, um die Aussage zu beweisen.
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Untergruppe U von G ist Normalteiler, wenn für alle g in G Ug=gU gilt.
Um Normalteiler zu verstehen ist die symmetrische Gruppe der Ordnung 6 als Beispiel wesentlich besser geeignet als eine abelsche Gruppe. ist die kleinste nichtabelsche Gruppe, und es lohnt sich, sie genau zu studieren.
Namenspitz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Eine Untergruppe U von G ist Normalteiler, wenn für alle g in G Ug=gU gilt.
Um Normalteiler zu verstehen ist die symmetrische Gruppe der Ordnung 6 als Beispiel wesentlich besser geeignet als eine abelsche Gruppe. ist die kleinste nichtabelsche Gruppe, und es lohnt sich, sie genau zu studieren.

Okay, danke. Puuuh... selbst mit hatte ich zu kämpfen:



Dann ist . Ich nenne die Permuationen von mal :

, wobei da ja nach dem Sart von Lagrange noch was zusammenfallen muss.








Somit ist , also wegen genau ein Beispiel für meine Aufgabe?

Jetzt muss ich mir nur noch wieder von dem Beispiel lösen traurig Big Laugh
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Noch nicht. Zunächst solltest du alle meine Hinweise an diesem Beispiel verifizieren und dann allgemein beweisen. Wenn du dann die Hinweise und ihren tieferen Sinn verstanden hast, kannst du damit beweisen, dass ein Normalteiler ist, weil der Index 2 ist. Dieser Beweis ist allgemein gültig, und du bist fertig.
Namenspitz Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es mittlerweile verifiziert, fürchte aber, ich stehe immer noch ziemlich auf dem Schlauch verwirrt . Mir scheint der Metablick zu fehlen.

Wegen gibt es zwei Linksnebenklassen von , nämlich selbst und für gewisse .


Zitat:
Original von Elvis
Für alle ist und und .

Wegen dem oben gilt ja für jedes entweder oder . Nun muss ich doch zeigen, dass für alle gilt:

geht ja eigentlich nur, wenn ist. Wegen der Abgeschlossenheit von gilt dann für alle . Das finde ich auch bei bzw. so wieder.


Für die übrigen gilt dann . Fehlt noch, dass ist. Hmm... verwirrt . Sagen wir mal für eben diese . Dann muss doch auch sein, weil die Linksnebenklassen untereinander disjunkt sind und wegen Lagrange gelten muss. Und weiter gedacht muss wegen der Disjunktheit von Rechtsnebenklassen auch gelten.

Das bedeutet aber noch nicht, dass ist unglücklich .
Namenspitz Auf diesen Beitrag antworten »

Wobei doch verwirrt . Wegen bleibt als zweite Links- bzw. Rechtsnebenklasse ja nur bzw. übrig.

Aber wenn , dann muss doch auch .

Und da muss auch , sonst erhalte ich nicht als diskunkte Vereinigung verwirrt .
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ziemlich nah dran. g in U, dann ist gU=Ug=U. g nicht in U, dann ist g in G\U, also g(G\U)=(G\U)g. Also ist U Normalteiler in G.
Für mehr als 2 Nebenklassen kann man nicht so argumentieren, weil dann G\U keine Nebenklasse ist.
Namenspitz Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank Elvis! Wink Freude
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