Wurzel x integrieren ohne Hauptsatz

01.11.2019, 15:48	Baumstamm	Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzel x integrieren ohne Hauptsatz Meine Frage: Sei f: [0,1]-> R eine Funktion. Man soll im Detail beweisen, dass das Riemann-Intgral der Wurzel aus x von 0 bis 1 gleich 2/3 ist. Dabei soll man die Formel: Summe der Quadratzahlen von 0 bis n-1 = (n^3)/3 - (n^2)/2 + n/6 benutzen. Meine Ideen: Wir hatten in der Vorlesung, man soll für die Berechnung eines Riemann-Integrals (à la Darboux)von a bis b eine Unterteilung des Intervalls in N Stücke vornehmen, die jeweils die Länge (b-a)/N haben und damit eine Unter-/Obersumme konstruieren. Was man nimmt, sollte keine Rolle spielen, da für Riemann-Integrierbarkeit die Unter- und Obersumme identisch sein müssen. Dann möchte ich jeweils die Breite dieser Stücke mit dem Funktionswert der unteren Intervallgrenze dieses Stücks multiplizieren und alles aufsummieren. Dann erhalte ich die Summe von k=0 bis N-1 von(f(k/N)*1/N) Ich verstehe aber nicht wirklich, wie ich denn nun diese Formel für die Summe der Quadratzahlen anwenden soll.
01.11.2019, 16:59	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel x integrieren ohne Hauptsatz Ich kann mir gut vorstellen, dass von Dir hier die zündende Idee erwartet wird: Summiere nicht die Flächenstücke unter dem Abschnitt der Wurzelfunktion selbst auf, sondern unter deren Umkehrfunktion und ziehe das Ergebnis von 1 ab. Dabei kannst Du die Formel zum Einsatz bringen.
01.11.2019, 17:08	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel x integrieren ohne Hauptsatz Oder man bedient sich der Zerlegung mit Teilpunkten $\begin{eqnarray} x_k=(k/n)^2 \end{eqnarray}$
01.11.2019, 17:11	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht auch direkt mit der Wurzelfunktion, wenn man mit einer anderen Intervallteilung arbeitet. Damit die Wurzel wegfällt, ist an etwas Quadratisches zu denken. Man teilt also $\begin{align} I=[0,1] \end{align}$ in $\begin{align} n \geq 1 \end{align}$ Intervalle auf und wählt als Teilungspunkte $\begin{align} x_i = \frac{i^2}{n^2} \, , \ 0 \leq i \leq n \end{align}$ Die Intervalllängen sind $\begin{align} \Delta x_i = x_i - x_{i-1} = \frac{i^2 - (i-1)^2}{n^2} = \frac{2i-1}{n^2} \, , \ 1 \leq i \leq n \end{align}$ Die größte dieser Intervalllängen wird für $\begin{align} i=n \end{align}$ angenommen, das heißt $\begin{align} \max_{i} \Delta x_i = \frac{2n-1}{n^2} \end{align}$ und das strebt für $\begin{align} n \to \infty \end{align}$ gegen 0, genau, wie man es für Riemann-Summen braucht: die Intervalle werden beliebig klein. Da $\begin{align} f(x) = \sqrt{x} \end{align}$ streng monoton wächst, braucht man für die Obersummen $\begin{align} S_n \end{align}$ bei den Teilintervallen den rechten Intervallwert: $\begin{align} S_n = \sum_{i=1}^n f \left( x_i \right) \Delta x_i \end{align}$ und bei den Untersummen $\begin{align} s_n \end{align}$ den linken: $\begin{align} s_n = \sum_{i=1}^n f \left( x_{i-1} \right) \Delta x_i \end{align}$ Letztlich ist das ein ähnlicher Ansatz, wie ihn auch klauss vorschlägt, man packt den Umkehrprozeß nur in die Intervallteilung.
01.11.2019, 19:10	Baumstamm	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen herzlichen Dank. Nun ist mir einiges klar geworden

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