Wurzel x integrieren ohne Hauptsatz

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Baumstamm Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzel x integrieren ohne Hauptsatz
Meine Frage:
Sei f: [0,1]-> R eine Funktion. Man soll im Detail beweisen, dass das Riemann-Intgral der Wurzel aus x von 0 bis 1 gleich 2/3 ist.

Dabei soll man die Formel: Summe der Quadratzahlen von 0 bis n-1 = (n^3)/3 - (n^2)/2 + n/6

benutzen.

Meine Ideen:
Wir hatten in der Vorlesung, man soll für die Berechnung eines Riemann-Integrals (à la Darboux)von a bis b eine Unterteilung des Intervalls in N Stücke vornehmen, die jeweils die Länge (b-a)/N haben und damit eine Unter-/Obersumme konstruieren. Was man nimmt, sollte keine Rolle spielen, da für Riemann-Integrierbarkeit die Unter- und Obersumme identisch sein müssen. Dann möchte ich jeweils die Breite dieser Stücke mit dem Funktionswert der unteren Intervallgrenze dieses Stücks multiplizieren und alles aufsummieren.

Dann erhalte ich die Summe von k=0 bis N-1 von(f(k/N)*1/N)
Ich verstehe aber nicht wirklich, wie ich denn nun diese Formel für die Summe der Quadratzahlen anwenden soll.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel x integrieren ohne Hauptsatz
Ich kann mir gut vorstellen, dass von Dir hier die zündende Idee erwartet wird:
Summiere nicht die Flächenstücke unter dem Abschnitt der Wurzelfunktion selbst auf, sondern unter deren Umkehrfunktion und ziehe das Ergebnis von 1 ab.
Dabei kannst Du die Formel zum Einsatz bringen.
 
 
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel x integrieren ohne Hauptsatz
Oder man bedient sich der Zerlegung mit Teilpunkten
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht auch direkt mit der Wurzelfunktion, wenn man mit einer anderen Intervallteilung arbeitet. Damit die Wurzel wegfällt, ist an etwas Quadratisches zu denken. Man teilt also in Intervalle auf und wählt als Teilungspunkte



Die Intervalllängen sind



Die größte dieser Intervalllängen wird für angenommen, das heißt



und das strebt für gegen 0, genau, wie man es für Riemann-Summen braucht: die Intervalle werden beliebig klein.

Da streng monoton wächst, braucht man für die Obersummen bei den Teilintervallen den rechten Intervallwert:



und bei den Untersummen den linken:



Letztlich ist das ein ähnlicher Ansatz, wie ihn auch klauss vorschlägt, man packt den Umkehrprozeß nur in die Intervallteilung.
Baumstamm Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen herzlichen Dank. Nun ist mir einiges klar geworden Hammer
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