Beweis abgeschlossene Menge

01.11.2019, 17:13	con1706	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis abgeschlossene Menge Meine Frage: Hallöchen, ich sitze gerade vor einer Aufgabe und komme nicht weiter. Die Fragestellung ist Folgende: Sei $\begin{eqnarray} X=\mathbb R ^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=max\lbrace \|x_{1}-y_{1}\|,\|x_{1}-y_{2}\| \rbrace \end{eqnarray}$ . Zeichnen sie die Teilmenge $\begin{eqnarray} D \subseteq X \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D = \lbrace (x,y) \in X : d((x,y),(1,1)) \leq 1 \rbrace \end{eqnarray}$ Beweisen sie, dass $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ eine abgeschlossene Menge in $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist. Meine Ideen: Der erste Teil der Aufgabe ist ziemlich simpel. Dazu habe ich bereits einen Plot erstellt (siehe Anhang). Die Blau schraffierte Fläche, einschließlich deren Ränder stellt $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ dar. Nun bleibt nur noch der Abgeschlossenheitsbeweis. Meine Idee war, zu zeigen dass das Komplement $\begin{eqnarray} D^{C} = \lbrace (x,y) \in X : d((x,y),(1,1)) > 1 \rbrace \end{eqnarray}$ offen ist. Wie gehe ich hier am besten vor?
01.11.2019, 17:17	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis abgeschlossene Menge Berechne mal den Abstand von (3,3) zu (1,1)
01.11.2019, 17:21	con1706	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis abgeschlossene Menge Der müsste mit der gegebenen Abstandsfunktion 0 sein.
01.11.2019, 17:31	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis abgeschlossene Menge Ich gehe mal davon aus, dass es um $\begin{eqnarray} d((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=max\lbrace \|x_{1}-y_{1}\|,\|x_{\color\red 2}-y_{2}\| \rbrace \end{eqnarray}$ geht. So wie du es geschrieben hast, ist d keine Metrik (warum?) Dann bekomme ich $\begin{eqnarray} d((3,3),(1,1))=max\lbrace \|3-1\|,\|3-1\| \rbrace =2 \end{eqnarray}$ Wie kommst du auf 0 ?
01.11.2019, 17:42	con1706	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis abgeschlossene Menge Ja stimmt, da habe ich mich vetippt. Dennoch wird der Abstand zwischen (3,3) und (1,1) dann 0: $\begin{eqnarray} d((3,3),(1,1)) = max \lbrace \|3-3\|,\|1-1\| \rbrace = 0 \end{eqnarray}$ Deshalb ist d auch keine Metrik: $\begin{eqnarray} (3,3)\neq(1,1) \end{eqnarray}$ .
01.11.2019, 17:46	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis abgeschlossene Menge Du hast jetzt zwei verschiedene Punkte, deren Abstand Null ist. Stehe ich jetzt auf der Leitung oder du? Für mich ist das jedenfalls nicht mit den Eigenschaften einer Norm verträglich. Edit: Ach, ist gar nicht verlangt, dass d eine Metrik sein soll?
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01.11.2019, 17:48	con1706	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis abgeschlossene Menge genau, das ist nicht verlangt! Edit: ist das dann möglicherweise ein Fehler in der Fragestellung?
01.11.2019, 17:58	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis abgeschlossene Menge Ah, pardon. Das muss kein Fehler sein, ich hatte im Kopf d mit Metrik gleich gesetzt. So ist $\begin{eqnarray} D=\{(x,y):\,\|x-y\|\leq 1\} \end{eqnarray}$ das Urbild des abgeschlossenen Intervalles $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ unter der stetigen Abbildung $\begin{eqnarray} (x,y)\mapsto \|x-y\| \end{eqnarray}$

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