Folgenkonvergenz

01.11.2019, 20:59

Liv-Lena

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RE: Folgenkonvergenz

Meine Frage:
Hallo alle zusammen! Könntet ihr mir bitte etwas unter die Arme greifen? Man soll zeigen, dass eine Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ genau dann gegen $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ konvergiert, falls gilt

$\begin{eqnarray*} \exists C >0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall E>0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \exists N \in \mathbb N: |a_{n} - a| < C \cdot E \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ eine Konstante sein soll.

Meine Ideen:
Also für die Rückrichtung hatte ich mir überlegt, dass man einfach $\begin{eqnarray*} E:= \frac{E}{C} \end{eqnarray*}$ setzt. Dann erhält man ja, was gezeigt werden muss.

Nur mit der Hin-Richtung habe ich ein Problem. Kann ich nicht einfach sagen, dass man mit E*C alle Zahlen größer 0 abdecken kann?

Ach, oder folgt das vielleicht aus dem Archimedischen Axiom? Die Hinrichtung, meine ich

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen

02.11.2019, 20:40

Liv-Lena

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RE: Folgenkonvergenz
Hat denn wirklich niemand eine Idee? unglücklich

unglücklich

02.11.2019, 20:48

URL

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RE: Folgenkonvergenz
Ich nenne deine Formulierung der Konvergenz mal C-Konvergenz.
Wenn eine Folge im gewöhnlichen Sinn konvergiert, dann ist sie auch C-konvergent für C=1

02.11.2019, 21:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von Liv-Lena
$\begin{eqnarray*} \exists C >0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall E>0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \exists N \in \mathbb N: |a_{n} - a| < C \cdot E \end{eqnarray*}$

Hat URL wohl stillschweigend ergänzt, aber irgendwie fehlt doch da ein Quantor, nicht wahr? D.h. sowas wie

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \exists C >0~\forall E>0~\exists N\in\mathbb N~{\color{red}\forall n\geq N}:~|a_n-a| < C\cdot E \end{eqnarray*}$

02.11.2019, 22:05

Liv-Lena

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@Hal 9000: Stimmt, danke fürs Ergänzen, amigo! Freude

Freude

@URL: Danke!!! Ja, das hatte ich mir auch überlegt. Es gibt ein C > 0, denn für C = 1 ist $\begin{eqnarray*} C \cdot E = E \end{eqnarray*}$ . Nur irgendwie erschien mir das zu ... wenig

Und für die Rückrichtung setzt man einfach $\begin{eqnarray*} E = \frac{E}{C} \end{eqnarray*}$ , stimmts?

P.S.: Weiß jemand, wie man mit das Epsilon in Latex hinbekommt? Dann muss ich nicht ständig $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ benutzen ...

02.11.2019, 22:10

Liv-Lena

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RE: Folgenkonvergenz

Zitat:

Original von URL
Ich nenne deine Formulierung der Konvergenz mal C-Konvergenz.
Wenn eine Folge im gewöhnlichen Sinn konvergiert, dann ist sie auch C-konvergent für C=1

Ne, warte mal, jetzt weiß ich wieder, warum ich diese Idee verworfen hatte. $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist doch keine Konstante, d.h. $\begin{eqnarray*} C \neq 1 \end{eqnarray*}$

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02.11.2019, 22:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von Liv-Lena
P.S.: Weiß jemand, wie man mit das Epsilon in Latex hinbekommt? Dann muss ich nicht ständig $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ benutzen ...

Du hast sogar die Wahl zwischen \epsilon für $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ und \varepsilon für $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

02.11.2019, 22:29

URL

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RE: Folgenkonvergenz
Warum um alles in der Welt sollte denn 1 keine Konstante sein?
Oder umgekehrt: Was ist denn für dich (k)eine Konstante?

04.11.2019, 12:17

Liv-Lena

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RE: Folgenkonvergenz
Okay, du hast mich überzeugt, danke! Aber meine Rückrichtung stimmt so, oder?

04.11.2019, 13:49

HAL 9000

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Findest du dein $\begin{eqnarray*} E:=\frac{E}{C} \end{eqnarray*}$ nicht ein wenig seltsam? Die beiden E's gehören zu inhaltlich verschiedenen Größen, das sollte sich auch in der Symbolik niederschlagen.

Insgesamt finde ich die Behauptung hier wenn auch nicht gänzlich sinnfrei, so doch ziemlich sinnarm: Man teilt das Grenzwert- $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ noch mal faktoriell auf, na prima. Erkenntnisgewinn ziemlich nahe bei Null, würde ich sagen, sozusagen selbst $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ . smile

smile

04.11.2019, 14:04

Liv-Lena

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Danke! Also ich meinte den Beweis für die Rückrichtung so:

Es existiere ein $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ mit der definierten Eigenschaft. Da $\begin{eqnarray*} \frac{\varepsilon}{C} > 0 \end{eqnarray*}$ , gibt es ein $\begin{eqnarray*} M \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} |a_{n} - a| < C \cdot \frac{\varepsilon}{C} = \varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq M \end{eqnarray*}$ . Es folgt, dass $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Mir kommt das richtig vor ... was denkst du?

04.11.2019, 14:26

HAL 9000

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Es ist wie mit dem vergessenen $\begin{eqnarray*} {\color{red}\forall n\geq N} \end{eqnarray*}$ oben: Grundsätzlich in Ordnung, aber an der einen oder anderen Stelle könnte es noch transparenter begründet werden.

Denn der eigentliche Sachverhalt ist hier so primitiv (siehe meine letzte Anmerkung), dass es umso wichtiger ist, den kargen Rest wenigstens ordentlich aufzubereiten.

04.11.2019, 14:51

Liv-Lena

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Danke für den Hinweis! Du meinst das Einsträuen zusätzlicher Erklärungen, damit mein Beweis für den Leser verständlicher wird, richtig?

04.11.2019, 15:24

HAL 9000

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Ich geb mal die Stelle an, die ich im besonderen meine:

Zitat:

Original von Liv-Lena
Da $\begin{eqnarray*} \frac{\varepsilon}{C} > 0 \end{eqnarray*}$ , gibt es ein $\begin{eqnarray*} M \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , [...]

Ausführlicher: Mit $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ meinst du hier das von der "normalen" Grenzwertdefínition her rührende. Nun wählst du $\begin{eqnarray*} E:=\frac{\varepsilon}{C} \end{eqnarray*}$ und laut deiner CE-Aussage (von der wir in der Rückrichtung ja ausgehen) gibt es zu diesem $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ dann ein $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ mit ...

D.h., diese Bezugnahme auf die beiden unterschiedlichen Aussagen (CE-Aussage einerseits sowie $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Definition des Grenzwertes andererseits) kommt mir in deiner Begründung nicht deutlich genug heraus. Und wenn man als Leser erst noch rätseln muss, welches Symbol jetzt logisch eingeordnet woher kommt, dann kann man es bei dieser primitiven Aussage hier auch gleich ganz sein lassen.

Es ist sicher richtig, dass man es bei Beweisen mit wirklicher Substanz dann auch nicht mehr so penibel streng sieht, da fokussiert man seine Gedanken auch auf die wirklich wichtigen Sachen. In dem Sinne würde man dann aber zu einer Behauptung wie hier einfach sagen: Offensichtlich richtig, bedarf keines weiteren Beweises. Big Laugh

Big Laugh

04.11.2019, 15:56

Liv-Lena

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Ja, hast recht, verstehe, was du meinst, danke. Vielleicht wäre es so passender?

Es existiere ein solches $\begin{eqnarray*} C>0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist auch $\begin{eqnarray*} \frac{\varepsilon}{C} > 0 \end{eqnarray*}$ . Somit gibt es ein $\begin{eqnarray*} M \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} |a_{n} - a| < C \cdot \frac{\varepsilon}{C} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =: \varepsilon' \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq M \end{eqnarray*}$ .

Folgich konvergiert $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ?

Was meinst du? Danke für deine Geduld Gott

Gott

04.11.2019, 23:30

Liv-Lena

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HAL, was meinst du?

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