Periode der Funktion sin^3(2x) bestimmen

01.11.2019, 17:46

KonverDiv

Periode der Funktion sin^3(2x) bestimmen

Guten Abend,

ich würde gerne wissen, wie man die Periode dieser Funktion $\begin{eqnarray*} sin^3(2x) \end{eqnarray*}$ bestimmen kann. Mein erster Ansatz war diese Funktion umzuschreiben:

$\begin{eqnarray*} sin^3(2x) = \frac{1}{4}(3\sin(2x)-sin(6x)) \end{eqnarray*}$

Nun kenne ich diese Beziehung:

$\begin{eqnarray*} \omega = \frac{2\pi}{T} \end{eqnarray*}$

Damit hat $\begin{eqnarray*} \sin(2x) \end{eqnarray*}$ die Periode: $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\sin(6x) \end{eqnarray*}$ die Periode $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$ . Meine Frage ist nun welche Periode hat denn jetzt die ursprüngliche Funktion und woran macht man dies fest? Laut Wolfram Alpha ist die Periode $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , aber das Ergebnis nützt mir wenig, wenn ich nicht weiß, was dahinter steckt. Außerdem, ist das Umschreiben in diesem Fall überhaupt sinnvoll, oder gibt es auch einen anderen Weg?

Danke für kommende Antworten! smile

01.11.2019, 17:54

HAL 9000

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Dem "Original" sieht man hier eigentlich alles wesentliche an:

$\begin{eqnarray*} T=\pi \end{eqnarray*}$ ist Periode der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sin^3(2x) \end{eqnarray*}$ , wie man durch Nachrechnen leicht nachprüft. Andererseits kann die kleinste Periode dieser Funktion auch nicht kleiner sein als $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , denn es ist $\begin{eqnarray*} f\left( \frac{\pi}{4} \right) = f\left( \frac{5\pi}{4} \right) = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x) < 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\left( \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \right) \end{eqnarray*}$ .

01.11.2019, 17:59

KonverDiv

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Danke für deine Antwort HAL 9000, das Bild zeigt das schon ganz gut. Wie sehe die Rechnung diesbezüglich aus, von der du sprachst?

01.11.2019, 18:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von KonverDiv
Wie sehe die Rechnung diesbezüglich aus, von der du sprachst?

Die Rechnung steht doch da!!! Aber nochmal etwas erläutert:

Wenn $\begin{eqnarray*} \sin(2x)\leq 1 \end{eqnarray*}$ in dem genannten Zwischenintervall ist mit "1" nur an den beiden Randpunkten (und das ist GRUNDWISSEN zum Verlauf der Sinusfunktion), dann trifft das auch auf die dritte Potenz davon zu.

EDIT: Achso, du meinst die zur Periode $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ? Das ist doch erst recht trivial:

$\begin{eqnarray*} f(x+\pi) = \sin^3(2(x+\pi)) = \sin^3(2x+2\pi)=\sin^3(2x) = f(x) \end{eqnarray*}$

01.11.2019, 18:29

KonverDiv

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Ok, danke dir! Das hat mir weitergeholfen!

Ok ich würde aber gerne nochmal nachfragen, wie du aus deiner Rechnung (Edit) die Periode abgelesen hast?

Zwei Beispiele:
$\begin{eqnarray*} f(x+\pi)=sin^3(2(x+\pi))=sin^3(2x+2\pi)=sin^3(2x)=f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x+\pi)=sin^2(2(x+\pi))=sin^2(2x+2\pi)=sin^2(2x)=f(x) \end{eqnarray*}$
wobei letztere die Periode pi/2 hat nach WA zufolge, woran sehe ich das bei dieser Rechnung?

01.11.2019, 18:55

HAL 9000

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Vielleicht ist es mal Zeit, die Begriffe zu klären:

"Die" Periode gibt es nicht, sondern bei periodischen Funktionen allenfalls eine kleinste Periode. Ansonsten ist jede Zahl $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} f(x+T)=f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus dem Definitionsbereich der Funktion gilt, eine Periode der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Insofern ist $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ eine Periode der obigen Funktion schlicht, weil $\begin{eqnarray*} f(x+\pi)=f(x) \end{eqnarray*}$ gilt. Warum es dann tatsächlich kleinste Periode ist, habe ich in dem anderen Teil begründet. Und es ist dieser andere Teil, denn du NICHT 1:1 auf die Funktion $\begin{eqnarray*} \sin^2(2x) \end{eqnarray*}$ übertragen kannst - warum nicht?

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