Konvergenz von Summe

01.11.2019, 20:27	Ogoat	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Summe Meine Frage: Die Aufgabe ist im Anhang. Ich muss zugeben das ich kaum eine Idee habe wie man an so etwas heran geht. Wir haben in der Vorlesung bisher Definition von Konvergenz und Multiplikation/Addition/Division von Folgen (und wie sich das auf die Konvergenz auswirkt) durchgenommen, einschließlich einquetsch kriterium etc. also falls "danach" etwas kommt was hierbei hilft darf ich das nicht benutzen. Meine Ideen: Also meine bisherigen Versuche und Annahmen: für m < n ist die Folge eine Nullfolge (glaube ich). Ich hab versucht irendwie das ganze nach oben ab zu schätzen um die Potenzen von k irgendwie wegkürzen zu können, so das am Ende $\begin{eqnarray} \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ oder ähnliches raus kommt. Aber dabei scheiter ich. Ein Mitglied meiner Gruppe hat erwähnt das er es gelöst hätte indem er Nenner und Zähler durch k^n geteilt hat und von da dan weiter, aber das hilft mir auch nicht wirklich. Die Koeffizienten sind dabei das womit ich garnicht klar komme. Würde mich über jegliche Tipps freuen
01.11.2019, 20:47	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist genau die richtige Idee: In Zähler und Nenner die höchste Potenz ausklammern. Man erhält damit: $\begin{align} \frac{a_0 + a_1k + \ldots + a_m k^m}{b_0 + b_1k + \ldots + b_nk^n} = \frac{k^m}{k^n} \cdot \underbrace{\frac{\frac{a_0}{k^m} + \frac{a_1}{k^{m-1}} + \ldots + \frac{a_{m-1}}{k} + a_m}{\frac{b_0}{k^n} + \frac{b_1}{k^{n-1}} + \ldots + \frac{b_{n-1}}{k} + b_n}}_{= \, c_k} = k^{m-n} \cdot c_k \end{align}$ Interessant ist nun, daß $\begin{align} (c_k) \end{align}$ einen Grenzwert besitzt: $\begin{align} c_k \to \frac{a_m}{b_n} \end{align}$ für $\begin{align} k \to \infty \end{align}$ , und der ist nach Voraussetzung über $\begin{align} a_m \end{align}$ und $\begin{align} b_n \end{align}$ von 0 verschieden. Jetzt überlege, was du in den drei Fällen der Aufgabe damit anfangen kannst.
01.11.2019, 21:23	Ogoat	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow vielen dank! Also für sowas muss ich echt noch nen Gefühl bekommen. Das das ck so schön konvergiert ist mir garnicht aufgefallen.

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