Drehung von Punkten mit Randbedingungen

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Tobi_M Auf diesen Beitrag antworten »
Drehung von Punkten mit Randbedingungen
Meine Frage:
Hallo Zusammen!

Ich stehe gerade vor dem Problem, dass ich zwei Punkte habe, die ich um einen dritten Punkt drehen möchte, bis sie mit einem vierten Punkt eine Gerade bilden. Dabei liegen alle Punkte auf einer Ebene im dreidimensionalen Raum. Am Ende möchte ich dann die Drehung auf weitere Punkte übertragen.

Kann mir hier jemand helfen?

Meine Ideen:
Ich wüsste, wie ich die Drehung um einen bestimmten Winkel auf der Ebene machen kann, allerdings ist mir unklar, wie ich auf Basis der Randbedingungen den Winkel finden kann.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Drehung von Punkten mit Randbedingungen
Die Punkte mögen in der x-y-Ebene liegen und der Punkt, um den gedreht werden soll, sei der Koordinatenursprung. Es gibt nur dann eine geeignete Drehung, wenn der Abstand des 4. Punktes vom Koordinatenursprung mindestens so groß ist, wie der Abstand der Geraden durch die ersten beiden Punkte vom Koordinatenursprung. Dann ergibt sich der Drehwinkel, indem man die Schnittpunkte des Kreises um den Koordinatenursprung, der durch den 4. Punkt geht, mit der Geraden durch die ersten beiden Punkte bestimmt. Man hat dann den/die Winkel, um den man den 4. Punkt drehen müsste, damit er auf der Geraden liegt. Bei einer Drehung der ersten beiden Punkte um diesen Winkel in die entgegengesetzte Richtung, kommen sie in eine Lage, bei der der 4. Punkt auf der Geraden durch sie liegt.
 
 
hawe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Drehung von Punkten mit Randbedingungen
Erstmal die Drehung.

Zu Drehung um eine Achse im Raum siehe

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/fdmmvvma
ggf. Wickipedia.

Deine Drehachse ist der Normalenvektor n=(n1,n2,n3) der Ebene E und der Drehpunkt sei D € E.
Mit der Notation sei R=R_n(alpha,n1,n2,n3) [siehe Zeile19] die Drehmatrix, dann gilt für einen Punkt P € E

P'=R (P - D) + D [ggb: P':= Vector(R (P - D)) + D]

Wie das jetzt mit Herstellung der Geraden ist solltest Du mal aufmalen - vorzugweise GeoGebra
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Drehung von Punkten mit Randbedingungen
wie Huggy schon sagte Augenzwinkern
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die reine Konstruktion in GeoGebra, ohne Rechnung:

[attach]49945[/attach]

Der Drehwinkel wird ermittelt, indem der gegebene Punkt um das Zentrum so zurückgedreht wird, dass er auf der gegebenen Geraden landet.

mY+
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das einmal komplex durchgerechnet.
Gegeben sind drei verschiedene Punkte in der Gaußschen Zahlenebene. und bestimmen eine Gerade . Gesucht ist nun eine Drehung um 0, also eine Abbildung der Art

mit einer komplexen Konstanten mit

so daß die Bildgerade von durch verläuft.

Für habe ich als Lösung einer quadratischen Gleichung gefunden:



Den Drehwinkel erhält man über die Eulersche Darstellung .

Die Bedingungen, unter denen das Ganze funktioniert, hat Huggy beschrieben. Der Radikand in der Formel oben fällt auf jeden Fall reell aus. Ist er nichtnegativ, so existiert eine entsprechende Drehung.

ist der Radius des Kreises, an dem die Gerade bei der Drehung entlanggleitet.
Tobi_M Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!
Vielen Dank für die Antworten - mit den Infos bin ich schon mal viel weiter!

Auf die Lösung von Leopold wäre ich auch mit sehr viel nachdenken nie gekommen ...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Um auf Leopolds Lösungen zu kommen muss man Leopold sein. Der gewöhnliche Mensch denkt nicht so weit. Du und ich lesen und studieren Leopolds Antworten, um den normalen Alltag noch schöner zu machen als er ohnehin schon ist.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Blumen! Aber ehrlich gesagt, genial ist das nicht. Höchstens wenn jemand das Entwerfen und konsequente Verfolgen einer Strategie, die auf Standardverfahren beruht, schon als Genialität bezeichnet. Was habe ich gemacht?

Zunächst habe ich mir überlegt, ob ich im Standardvektorraum oder in arbeiten soll. Drehungen im Zweidimensionalen, da bietet sich die komplexe Multiplikation an, die ja genau das geometrisch bewirkt. Zudem hat man in eine Division zur Verfügung, was hoffen läßt, daß sich alles algorithmisch übersichtlich abwickeln läßt. Wer Lust, kann ja den entsprechenden Plan im mit den dortigen Methoden verfolgen.

Als erstes habe ich die Geradengleichung von aufgestellt.

ist das komplex geschriebene Äquivalent zum euklidischen Standardskalarprodukt. ist ein Normalenvektor von und somit



eine Normalform von . Mit der Definition des Skalarprodukts oben erhält man nach Vereinfachen



Um die Gleichung der Bildgeraden bei der Drehung zu bekommen, wird hierin ersetzt. Nach Multiplikation mit habe ich



als Gleichung von erhalten. Da auf liegen soll, setzt man ein. Nach Multiplikation mit erhält man eine quadratische Gleichung in , deren beide Lösungen ich oben angegeben habe.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, das ist genial. Hinterher habe ich auch schon vorher gewußt, dass ich mit identifizieren kann. Dir gebührt wieder einmal die Ehre, das gemacht zu haben. Blumen
hawe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Drehung von Punkten mit Randbedingungen
Obwohl der Poster nicht mehr interessiert scheint, hat mich Leopolds Lösung animiert meinen Ansatz noch mal aufzugreifen. Ich gehe von einer beliebigen Ebene E im R^3 aus.
D-Drehzentrum, P,Q € Gerade g, A' € g' gedrehte Gerade.

Ich lege eine Kugel durch das Zentrum D mit Radius |DA'| und berechne die Schnittpunkte der Geraden g(P,Q) das sind Urbildpunkte A des zurückgedrehten Punktes A'. Der Drehwinkel a liegt dann im Dreieck A D A' - Skalarprodukt ==> a
Für den Punkt A hab ich eine leopold-ähnliche quadratische Formel.

Liegt der Urbildpunkt A "links" oder "rechts" von der Geraden g' muss der Drehwinkel positiv oder negativ sein. Und genau da wirds unschön - ich finde keinen vernüftigen Ansatz was zur Drehrichtung zu sagen außer zu überprüfen, ob gegebene Punkt A' auch auf der gedrehten Geraden g' liegt...

Frage: @leopold gibt es das Problem evlt. auch bei Deiner Lösung und hat jemand eine Idee, die Drehrichtung zu bestimmen?

[attach]49993[/attach]
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde die Gaußsche Zahlenebene über die Drehebene legen, so daß das Drehzentrum zum Nullpunkt wird.

Beispiel:

(Ebene)

(Punkte der Ebene)

Die Gerade soll in der Ebene so um gedreht werden, daß die Bildgerade durch geht.

ist Normalenvektor von der Länge . Legen wir die reelle Achse der Gaußschen Zahlenebene durch und hindurch, so daß zur komplexen 0 und zur komplexen 1 wird. Das Kreuzprodukt von und gibt uns die fehlende imaginäre Richtung . Noch normieren, damit wir dieselben Einheiten bekommen:



Jeder Punkt von besitzt nun eindeutig bestimmte , so daß sein Ortsvektor die Gestalt



besitzt. wird mit der komplexen Zahl identifiziert.

Es gehören zusammen

und

und

und

Mit der Formel aus meinem vorigen Beitrag berechne ich als die eine Lösung



Dazu gehört der Winkel .

Und die zweite Lösung ist



Der zugehörige Winkel ist .

Diese Winkel sind im positiven Drehsinn aufzufassen. Dieser wird festgelegt durch die Vektoren oben und ist dadurch bestimmt, daß man um 90° (nicht 270°) auf dreht.

Ich habe dasselbe Beispiel einmal mit deiner Methode durchgerechnet und stieß auf dieselben Winkelverhältnisse. Das Problem ist, daß sich als Winkel zwischen Vektoren immer ein Winkel zwischen 0° und 180° ergibt. Die Drehung um 251,73° konnte ich damit also gar nicht erkennen, da sich durch die Rechnung mit der Skalarprodukt-Cosinus-Formel 108,27° ergaben. Auch ist die Drehrichtung in der Tat unklar.
Tobi_M Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Drehung von Punkten mit Randbedingungen
Zitat:
Obwohl der Poster nicht mehr interessiert scheint,...

Also ich bin durchaus noch interessiert und lese auch weiter mit, ich kann bloß gerade nichts mehr beitragen.

Das Winkel-Problem habe ich in der Tat dadurch gelöst, dass ich einfach ausprobiert habe, ob der Punkt jetzt auf der gerade liegt. Nicht elegant, funktioniert aber für meinen Anwendungsfall...
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