Differentialgleichung, linear unabhängig, System von DGL...

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Jan Schneider Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung, linear unabhängig, System von DGL...
Hallo!

Ich beschäftige mich derzeit vermehrt mit Differentialgleichungen und fühle mich von den Begriffen aus dem Skript allmählich erschlagen. In meiner Hausaufgabe habe ich z.B. folgende DGL gegeben:



Ich soll nun aussagen, wie viele linear unabhängige Lösungen ich erwarte und warum. Ich würde sagen 2, weil die DGL zweiter Ordnung ist - aber das ist geraten. Ich weiß nicht was lineare Abhängigkeit oder Unabhängigkeit der Lösungen bedeutet. Ich habe auch vermehrt den Eindruck bekommen, dass DGL und Vektorräume irgendwie zusammen hängen, dazu habe ich nun folgende Fragen:

- Was ist lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit von den Lösungen und wie ist die Verbindung zu Vektoren?

- Was ist ein Fundamentalsystem? Wie kann ich mir das vorstellen?

- Wie genau funktioniert das mit dem integrierenden Faktor und wie kann ich hier die imaginäre Einheit dafür nutzen? (Ist Teil der Aufgabe)

Mein Skript ist gut geschrieben, aber die Erklärungen sind verallgemeinert und sehr kurz gehalten, ähnlich ist es in Fachliteratur. Wenn sich jemand die Zeit nehmen könnte mir das zu erklären wäre das wirklich ganz toll!

Noch ein schönes Wochenende.
Jan Schneider Auf diesen Beitrag antworten »

Kann da niemand was zu sagen? Ich habe jetzt den ganzen Tag mit meinen Kommilitonen versucht irgendwas dazu nachvollziehen zu können aber wir hatten alle keinen Erfolg. Wenn ich z.B. nach dem integrierenden Faktor im Internet suche komme ich immer auf partielle DGL; die haben wir aber noch nicht behandelt, und in unserem Fall wird das scheinbar auch nicht so benutzt.

Ich habe z.B. in einer Mitschrift aus der Vorlesung folgendes:


nach Erweiterung mit dem integrierenden Faktor:



daraus folgt



danach wird erst integriert. Integriert der Faktor "automatisch"? Offensichtlich wurde hier integriert, aber mir erschließt sich der Zwischenschritt nicht.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jan Schneider
Offensichtlich wurde hier integriert, aber mir erschließt sich der Zwischenschritt nicht.

Wenn du ohne diesen Zwischenschritt integrierst, dann kommt heraus, statt wie bei dem anderen Weg , dabei kennzeichnet eine Integrationskonstante.

Welches Ergebnis gefällt dir besser bzw. bringt einen bei der Lösung der DGL voran? Das beantwortet dann die Frage nach der Sinnhaftigkeit des integrierenden Faktors.
Jan Schneider Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir erstmal für die Antwort.

Ich hänge bei einem Schritt nur einfach fest. Wie wird aus z.B. dem:



das:



verwirrt

Der Faktor wird "wegintegriert" und sollte doch y sein, oder?

Oder im Falle meiner Mitschrift mit 0,5 davor. Es wurde also einmal integriert. Okay, das ist soweit klar. aber dann würde doch aus dem integrierenden Faktor ein y und aus y'' einfach y'; wieso wird das dann zu ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte es einfach mal anders herum: Differenziere bzw. , natürlich unter Beachtung der Kettenregel.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Skalarmultiplikation und Addition von Funktionen lässt sich so definieren:


für und .

Damit wird zu einem Vektorraum über dem Körper , den man Funktionenraum nennt.

Die Lösungsmenge der Dgl. bildet einen Untervektorraum des Funktionenraums . Ein Fundamentalsystem ist nichts anderes als eine Basis dieses Untervektorraums.
 
 
Jan Schneider Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Betrachte es einfach mal anders herum: Differenziere bzw. , natürlich unter Beachtung der Kettenregel.




Ich glaube hier hakts schon, das verwirrt mich gerade mehr als es sollte. verwirrt

Zitat:
Original von Finn_
Skalarmultiplikation und Addition von Funktionen lässt sich so definieren:


für und .

Damit wird zu einem Vektorraum über dem Körper , den man Funktionenraum nennt.

Die Lösungsmenge der Dgl. bildet einen Untervektorraum des Funktionenraums . Ein Fundamentalsystem ist nichts anderes als eine Basis dieses Untervektorraums.


Man spannt also quasi einen Vektorraum mit Funktionen auf anstelle von Skalaren, wobei die Funktionen eben die aus dem System von DGL sind, verstehe ich das richtig?

Die Lösungsmenge als Untervektorraum ist also sozusagen eine "Teilmenge" des aufgespannten Vektorraums?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Bereits links steht symbolischer Unsinn... Richtig íst nach Kettenregel



.

Wenn du bereits da Schwierigkeiten hast, ist es natürlich kein Wunder, dass du da so hilflos rumstocherst.
Jan Schneider Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit der Schreibweise war ein Flüchtigkeitsfehler, es ist mir klar dass es d/dx heißen müsste, ändert aber natürlich nichts dran dass das Ergebnis Stuss ist...

Ja, ich hab da tatsächlich Probleme mit weil es eine (unbekannte?) Funktion ist und mich das Ableiten nach x hier extrem verwirrt hat. Die Schritte ansonsten verstehe ich...

Wenn ich das jetzt integriere, bekomme ich



So steht es in meinem Skript. Ich hätte normalerweise aus dem y'' einfach y' gemacht; wäre das falsch weil hier jetzt nach y anstelle von x integriert wird? Wie kommt man auf das Ergebnis ? Also wieso Ableitung hoch 2 und das nochmal abgeleitet? Ich glaube wenn ich den Schritt gerallt habe kann ich den Rest davon auch nachvollziehen.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Man spannt also quasi einen Vektorraum mit Funktionen auf anstelle von Skalaren, [...]

Ja und nein, ein Vektorraum wird immer aus einer Menge von Vektoren aufgespannt. Die Skalare dienen dazu, die Vektoren bzw. Funktionen zu skalieren. Beachte: die Vektoren sind beim Aufspannen fest, die Skalare aber beliebig.

Zitat:
Die Lösungsmenge als Untervektorraum ist also sozusagen eine "Teilmenge" des aufgespannten Vektorraums?

Der Raum lässt sich nicht aus einer endlichen Menge von Vektoren aufspannen. Diesen Raum nimmt man einfach als gegeben an.

Eine Unterstruktur einer Struktur ist als Menge auch immer eine Teilmenge der Struktur (es sein denn, man hantiert mit Einbettungs-Monomorphismen herum). Die Anführungsstriche um Teilmenge können also entfallen.
Jan Schneider Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung für den Doppelpost, ggf bitte zusammenführen.

Ich merke (vllt auch wegen der zunehmenden Müdigkeit), dass ich mit folgenden Basics wirkliche Probleme habe.




wäre dann

für dx
für dy

oder? verwirrt

Da mir das nicht völlig klar ist, kann ich die Integration mit dem Faktor wahrscheinlich nicht nachvollziehen.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal vom Ausgangspunkt:

bzw.


Beide Seiten der Gleichung werden nun als Ableitung jeweils einer Stammfunktion betrachtet. Auf der rechten Seite ist das eine Konstante . Auf der linken Seite ist das , wie sich durch Ableiten überprüfen lässt.

Demnach ist .

Oder alternativ:

das ergibt

mit .

Die Dgl. wurde also in eine Dgl. erster Ordnung überführt, welche sich durch Separation der Variablen lösen lässt, da die Dgl. in die Form gebracht werden kann.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Oder man lässt Schludrigkeiten gleich gänzlich unterbleiben.

Gegeben ist die Gleichung für alle .

Multiplikation einer Zahl ungleich null auf beiden Seiten einer Gleichung ist eine Äquivalenzumformung. Unter der Annahme, ist frei von Nullstellen, ist daher

eine äquivalente Gleichung.

Nehmen wir nun weiter an, ist zweimal stetig differenzierbar, dann sind beide Seiten der Gleichung stetig, und liegen damit im Definitionsbereich des bestimmten Integrals. Das impliziert die Gleichung

Nach dem Hauptsatz lässt sich das rückgängig machen, man hat also wieder eine Äquivalenzumformung der Dgl.

Bestimmung der Integrale ergibt


Das führt unmittelbar zu

und somit zu

Der linke Integrand ist als Verkettung stetiger Funktionen stetig, liegt also im Definitionsbereich des bestimmten Integrals.

Für die auftretende Wurzel sollte sein. Da für alle vorausgesetzt wurde, muss streng monoton sein, und daher streng monoton steigend. Der Ungleichung genügen daher alle . Daher lässt sich ein wählen.

Unter den genannten Voraussetzungen sind soweit nur Äquivalenzumformungen aufgetreten.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung, linear unabhängig, System von DGL...
Gegeben war ganz am Anfang: .

Dies ist die Gleichung für eine harmonischen Oszillator. Dazu gehört die allgemeine Lösung



Dabei sind A und B frei wählbare Konstanten, die man ggf. an Randbedingungen anpassen muß.

Würde stattdessen die Gleichung vorliegen, dann haben wir keinen Oszillator mehr, sondern ein exponentiell ansteigendes oder abklingendes System mit der allgemeinen Lösung

Jan Schneider Auf diesen Beitrag antworten »

Guten morgen,

ich danke euch für die Antworten. Wir haben die Aufgabe gestern besprochen und mittlerweile ist mir alles soweit klar geworden. Man kann nach Einführen des integrierenden Faktors 2y' substituieren und integrieren - man kommt dann auf den Ausdruck der nach Kettenregel abgeleitet wieder das vorige ergeben würde (was eigentlich offensichtlich ist).



und so weiter; nach dem Denkanstoß mit der Substitution war es spielend einfach, ich hing nur neulich gewaltig bei dem Schritt von der zweiten Zeile an.
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