Beweis Kubikwurzel 2 irrational

02.11.2019, 13:08

Jan Schneider

Beweis Kubikwurzel 2 irrational

Hallo,

ich glaube dass der Beweis relativ analog zu dem Beweis der Irrationalität von Wurzel 2 geschieht, mich verwirrt nur der (wahrscheinlich) einfache a-Teil der Aufgabe.

Ich soll folgendes zeigen:

$\begin{eqnarray*} p^3 \end{eqnarray*}$ gerade $\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gerade

Nur wie stelle ich das an? Ich habe mir gedacht dass ich das per Widerspruchsbeweis machen könnte, weiß nur nicht ob meine Annahme richtig wäre:

$\begin{eqnarray*} p^3 \end{eqnarray*}$ gerade $\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ungerade

Nun schreibe ich p als $\begin{eqnarray*} 2k+1 \end{eqnarray*}$ und forme das entsprechend um:

$\begin{eqnarray*} <br /> (2k+1)(2k+1)^2<br /> \end{eqnarray*}$

wobei ich auf folgendes komme:

$\begin{eqnarray*} <br /> 2(4k^3+6k^2+3k)+1<br /> \end{eqnarray*}$

Aber das beweist doch gar nichts? Ich hätte ebensogut die eins als 0,5 in der Klammer lassen können und das Ding wäre gerade (weil durch 2 teilbar). Wo ist hier mein Denkfehler?

02.11.2019, 13:18

Helferlein

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Teiler sollten schon ganze Zahlen sein und 0,5 ist das nicht so wirklich.

02.11.2019, 13:21

Jan Schneider

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Wenn aber doch nur die 2 vor der Klammer steht?

02.11.2019, 14:01

Helferlein

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Demnach ist 1 gerade, weil 1=2*0,5 geschockt

02.11.2019, 14:10

Jan Schneider

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Weißt du, eben die Angst vor diesem abfälligen Ton ist der Grund warum viele meiner Kommilitonen und ich in den Übungsgruppen den Mund nicht aufbekommen. Es ist sehr viel was ich derzeit lernen muss und mit den Beweisen hab ich massive Probleme, auch im Verständnis. Soll heißen: mir erschließt sich der Sinn und das Vorgehen bei Beweisen nicht, das ist auch der Grund warum ich dort einfache Aufgaben einfach nicht lösen kann.

Mein Problem besteht nach wie vor: was beweist das nun? Wenn ich die 2 ausklammere, ist das dann richtig? Dann ist der Term in den Klammern gerade weil ich die 2 wegteilen kann? Was ist mit der 1? verwirrt

02.11.2019, 14:50

Helferlein

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Bin nur am Handy, daher sind meine Antworten eher kürzer gefasst.
Also: Eine Gerade Zahl ist durch 2 teilbar und somit in der Form 2k mit einer ganzen Zahl k darstellbar. Ungerade Zahlen sind demzufolge in der Form 2k+1 darstellbar.

In deinem Beweis wurde diese Darstellung hergeleitet. Ein Faktor 2, ein Klammerterm, der eine ganze Zahl ergibt und ein Rest von eins. Das beweist, dass es sich um eine ungerade Zahl handelt.
Hätte man die eins in die Klammer gezogen, wäre der Term keine ganze Zahl mehr und somit nutzlos für die Entscheidung, ob wir es mit einer geraden oder ungeraden Zahl zu tun haben.

02.11.2019, 15:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Jan Schneider
Weißt du, eben die Angst vor diesem abfälligen Ton ist der Grund warum viele meiner Kommilitonen und ich in den Übungsgruppen den Mund nicht aufbekommen.

Weißt du, es ist die Angst vor diesem grundlos mimosenhaften Verhalten, welches einige Helfer hier im Board dazu bringt, gewisse Anfragen nicht mehr zu beantworten - besonders wenn sie von Leuten kommen, die schon durch solches Verhalten aufgefallen sind.

Zu deinem Glück gibt es auch Leute wie Helferlein, die solche unsinnigen Vorwürfe schlicht ausblenden und weiter machen. Da solltest du vielleicht auch mal drüber nachdenken.

02.11.2019, 15:53

Jan Schneider

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Zitat:

Original von Helferlein
Bin nur am Handy, daher sind meine Antworten eher kürzer gefasst.
Also: Eine Gerade Zahl ist durch 2 teilbar und somit in der Form 2k mit einer ganzen Zahl k darstellbar. Ungerade Zahlen sind demzufolge in der Form 2k+1 darstellbar.

War auch nicht meine Absicht irgendwas zu unterstellen, ich fühl mich nur insbesondere bei den Beweisen schon selbst einfach ziemlich dumm weil ich die Zusammenhänge nicht verstehe.

Das mit der Darstellung einer ungeraden Zahl ist aber soweit klar.

Zitat:

Original von Helferlein
In deinem Beweis wurde diese Darstellung hergeleitet. Ein Faktor 2, ein Klammerterm, der eine ganze Zahl ergibt und ein Rest von eins. Das beweist, dass es sich um eine ungerade Zahl handelt.
Hätte man die eins in die Klammer gezogen, wäre der Term keine ganze Zahl mehr und somit nutzlos für die Entscheidung, ob wir es mit einer geraden oder ungeraden Zahl zu tun haben.

Okay, das ergibt durchaus Sinn. Vielen Dank. verwirrt

Ich hab das mit der ganzen Zahl irgendwie auf dem Weg gelassen...

02.11.2019, 17:09

Helferlein

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Nachdem das geklärt ist sollten wir die Aufgabe noch einmal näher beleuchten.
Du hast oben gezeigt, dass ein ungerades p zu einem ungeraden $\begin{eqnarray*} p^3 \end{eqnarray*}$ fügt. Warum dann nicht einfach den direkten Weg gehen und zeigen, dass ein gerades p auch ein gerades $\begin{eqnarray*} p^3 \end{eqnarray*}$ bedingt?

Dann bleibt nur noch die Rückrichtung $\begin{eqnarray*} p^3 \end{eqnarray*}$ gerade $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ p gerade.

02.11.2019, 22:18

Jan Schneider

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Gute Frage, ehrlich gesagt kann ich nicht sagen wieso ich das nicht direkt gezeigt habe, ist mir jetzt relativ klar aber ursprünglich hatte ich wohl das selbe Problem wie bei jeder neuen Beweisaufgabe: ich weiß keinen Ansatz. Hatte nur noch "Widerspruchsbeweis" von einer älteren Aufgabe im Hinterkopf.

03.11.2019, 00:09

Leopold

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Zur Irrationalität eine leicht andere Argumentationsweise. Sie ist sofort auf höhere Wurzeln übertragbar.

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