Inconsistent/Empty Domain

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Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
Inconsistent/Empty Domain
1. Spielt es in der PL eine Rolle, wenn das Diskursuniversum (Domain) inkonsistent ist, weil man schlicht 'alles' dort einpackt? ME nämlich nicht, weil die Semantik dafür sorgt bzw. sorgen soll, dass als Output nie was Inkonsistentes rauskommt.

2. In PL-Semantiken, welche die Wahrheit einer Allformel auf der Basis einer Implikation definieren, zB D |= Allx(Px) gdw. für jedes s aus D |= P, ist die Allformel immer wahr, denn dahinter verbirgt sich nur die Implikation, die bei falschem/leeren Antecedens immer wahr wird. Manchmal lese ich aber auch sowas in der Art von: Allx(Px) = 1 gdw. alle s aus D P, was zur Falschheit der Allformel bei leerem D führen würde, nicht wahr? Denn kein s aus D ist ja in P, weil D leer ist.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll es bedeuten, dass ein Universum inkonsistent ist?

Die leere Menge erfüllt jede Allaussage, da für alle .
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Was soll es bedeuten, dass ein Universum inkonsistent ist?


ZB enthalte es die Russellsche Menge {x|x nicht Element von x} oder ganz allgemein enthalte die Menge für beliebige Gegenstände auch ihr Gegenteil, also: p, ~p. Ist das für PL ein Problem, wenn man so ein Universum hätte?

Zitat:

Die leere Menge erfüllt jede Allaussage, da für alle .


Das bringt mE nichts, weil entscheidend dafür, ob die Allaussage wahr ist, deren grundlegendere Definition in der Semantik ist. Darum kreist mein Problem. Wenn definiert wird: Allx(Px) = wahr gdw. jedes s aus dem Universum Element der Menge von P, dann wäre bei leerem Universum Allx(Px) falsch, weil in P kein Element vom Universum wäre. Um diese Allaussage wahr zu machen, muss die Wahrheit implikativ definiert werden, sowas wie: Allx(Px) = wahr gdw. aus jedem s des Universums folgt, dass es in P drin ist. Denn weil es kein s des Universums gibt, der Antecedens also falsch ist, wäre die Teilaussage wahr und damit Allx(Px). Verstehst du, was ich meine?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pippen
ZB enthalte es die Russellsche Menge {x|x nicht Element von x} oder ganz allgemein enthalte die Menge für beliebige Gegenstände auch ihr Gegenteil, also: p, ~p. Ist das für PL ein Problem, wenn man so ein Universum hätte?

Die Russelsche Menge gibt es nicht.

Zitat:
Original von Pippen
Denn weil es kein s des Universums gibt, der Antecedens also falsch ist, wäre die Teilaussage wahr und damit Allx(Px). Verstehst du, was ich meine?

Stimmt. Was ist das Problem?
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inconsistent/Empty Domain
Zitat:
Original von zweiundvierzig
Die Russelsche Menge gibt es nicht.


In einem beliebigen Universum wäre sie trotzdem drin, als widersprüchliche Menge.

Zitat:
Original von Pippen
Denn weil es kein s des Universums gibt, der Antecedens also falsch ist, wäre die Teilaussage wahr und damit Allx(Px). Verstehst du, was ich meine?

Stimmt. Was ist das Problem?[/quote]

Das Problem ist, dass ich in vielen Vorlesungsskripten lese folgende Art der Definition lese (vereinfacht), worin sich keine Implikation "versteckt", die das ex falso ausnutzen kann: Allx(Px) = wahr gdw. jedes s aus dem Universum Element der Menge von P ist, doch dann wäre bei leerem Universum Allx(Px) falsch, weil in P kein Element vom Universum wäre.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inconsistent/Empty Domain
Zitat:
Original von Pippen
In einem beliebigen Universum wäre sie trotzdem drin, als widersprüchliche Menge.

Ein Universum ist die Grundmenge eines Modells. Was soll ein "inkonsistentes Universum" sein?

Wenn es etwas nicht gibt, dann ist es auch in keiner Menge enthalten.

Zitat:
Original von Pippen
Allx(Px) = wahr gdw. jedes s aus dem Universum Element der Menge von P ist, doch dann wäre bei leerem Universum Allx(Px) falsch, weil in P kein Element vom Universum wäre.

Es ist .

Für ist .
 
 
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inconsistent/Empty Domain
Zitat:
Original von zweiundvierzig
Wenn es etwas nicht gibt, dann ist es auch in keiner Menge enthalten.



Das kannst du ja aber erst mit Hilfe der PL beweisen. Das beliebige Diskursuniversum enthält also durchaus "Dinge", die es nicht gibt bzw. die es nur scheinbar gibt, zB eben die Menge {x| x x}, die dann mit Hilfe der Semantik der PL aufgetrennt werden: ein Teil der Dinge gehört zur Teilmenge des Wahren im Diskursuniversum, ein Teil der Dinge (die Menge {x| x x}) gehört zur Teilmenge des Falschen des Diskursuniversums. Wie man das beweisen kann, ist dann wieder eine andere Frage, dazu braucht man in der PL einen Kalkül. Läuft es nicht so (vereinfacht ausgedrückt)? Denn das hieße, dass im Diskursuniversum eben auch Falschheiten drin sind, jedenfalls als Konzepte.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inconsistent/Empty Domain
Zitat:
Original von Pippen
Das beliebige Diskursuniversum enthält also durchaus "Dinge", die es nicht gibt

Na dann viel Spaß mit den Einhörnern. smile
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inconsistent/Empty Domain
Naja, passiert denn etwas Schlimmes, wenn mein Diskursuniversum die Russellsche Menge oder 4eckige euklidische Dreiecke enthält und damit inkonsistent ist? Solange ich die Interpretation so einstelle, dass beide "Objekte" immer ausserhalb beliebiger Relationen sind, solange dürfte doch kein Problem bestehen, weil sie dann immer falsch sind, oder?

Ich frage mich eben, ob das Diskursuniversum einer PL-Struktur selbst konsistent sein muss.
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